1 курс / ОТК 1 курс-20191213T204228Z-001 / ОТК / Л_тература по ОТК / otksp_STZI_press для диска

3.8Еквівалентна заміна послідовного з'єднання елементів паралельним і навпаки

Розглянуті в підрозділах 3.6−3.7 поняття комплексних опорів і провідностей дозволяють не тільки обгрунтувати закон Ома в комплексній формі для пасивної ділянки кола, але й еквівалентно подати будь-який лінійний пасивний двополюсник у вигляді послідовного або паралельного кіл R, L, C. При цьому для еквівалентного послідовного кола доцільно використовувати комплексний опір, а для еквівалентного паралельного кола − комплексну провідність (рис.3.25).

Рисунок 3.25 – Варіанти еквівалентної заміни пасивного двополюсника послідовним або паралельним колами R, L, C

На рис.3.25 і в подальшому викладенні для того, щоб розрізняти параметри послідовного і паралельного кіл, в позначеннях елементів і величин викори-

стовуються індекси: «=» − для послідовного кола; «| | » − для паралельного кола.

Необхідно звернути увагу на неоднозначність показаних на рис.3.25 перетворень для параметрів L і C, пов'язану з тим, що реактивні складові комплексних опорів ( X = ωL= −1/ ωC=) і провідностей ( B =1/ ωL|| −ωC || ) еквівалентного

кола для заданої частоти ω утворюють одне рівняння з двома невідомими L і С. Тому один з цих параметрів L або С має бути заданий.

Вибираючи як належить параметр одного з реактивних елементів, цей елемент можна виключити (замкнути або розімкнути), і тоді в схемі заміщення залишиться тільки другий реактивний елемент. Варіанти таких еквівалентних замін наведені в табл.3.9.

Таблиця 3.9 − Співвідношення для розрахунку параметрів єдиного реактивного елемента в еквівалентних схемах

Встановлення зв'язків між параметрами відповідних елементів послідовного і паралельного еквівалентних кіл має не тільки теоретичне, але і практичне значення для складання схем заміщення реальних елементів.

Прикладами практичних задач, в яких необхідно здійснити еквівалентну заміну послідовного кола паралельним або навпаки, є задачі розрахунку кіл, в яких конденсатори і котушки самоіндукції подані відповідними схемами заміщення. Так, основна схема заміщення конденсатора показана на рис.3.26, а. Щоб спростити розрахунки, іноді використовують еквівалентну послідовну схему заміщення конденсатора (рис.3.26, б). Аналогічні схеми для котушки самоіндукції зображені на рис.3.26, в (основна схема заміщення) і рис.3.26, г (паралельна схема заміщення).

Загалом є два варіанти еквівалентних перетворень:

1)перехід від послідовного кола до паралельного (рис.3.27, а);

2)перехід від паралельного кола до послідовного (рис.3.27, б). Переходячи від послідовного кола до паралельного, для заданих активної

іреактивної складових комплексного опору послідовного кола R= і X= визначають активну і реактивну складові комплексної провідності паралельного кола

G|| і B||.

зультат, на що вказано вище в даному підрозділі;

2)параметри активних опорів (або провідностей) еквівалентних схем залежать від параметрів не тільки активних провідностей (або опорів), але і реактивних елементів вихідних схем;

3)параметри реактивних елементів еквівалентних схем визначаються параметрами не тільки реактивних елементів, але і активних опорів (або провідностей) вихідних схем;

4)параметри активних опорів (або провідностей) і реактивних елементів еквівалентних схем є функціями частоти;

5)параметри відповідних елементів еквівалентних послідовного і пара-

лельного кіл не дорівнюють один одному: R=≠ R||; L=≠ L||; C=≠ C||.

Здобуті розрахункові співвідношення зведені до табл.3.10. Конденсатори зазвичай працюють в режимі, коли в основній паралельній

З отриманих загальних виразів для еквівалентних перетворень виходять наведені в табл.3.11 співвідношення для параметрів елементів еквівалентних схем конденсатора і котушки самоіндукції (рис.3.26).

Таблиця 3.10 − Розрахункові співвідношення для еквівалентних перетворень послідовного і паралельного кіл

З урахуванням співвідношення (3.63) параметри послідовної схеми заміщення конденсатора (див. табл. 3.11) становитимуть:

Отже, ємності в паралельній і послідовній схемах заміщення для даного режиму роботи конденсатора приблизно однакові, а опори − обернено пропорційні один одному.

Після підстановки миттєвого значення k-го струму, вираженого за допомогою комплексної амплітуди

Imk cos(ωt +ψik ) = Re[Imk e j(ωt +ψik ) ]= Re[I mk e jωt ],

ліва частина рівняння (3.65) набуде вигляд суми проекцій векторів, що оберта-

Співвідношення (3.68) є математичним записом першого закону Кірхгофа в комплексній формі.

Розділивши ліву і праву частини рівняння (3.68) на 2 , отримаємо запис першого закону Кірхгофа в комплексній формі для комплексних діючих значень синусоїдних струмів:

M

∑I k = 0 . (3.69)

k =1

Формулювання першого закону Кірхгофа в комплексній формі:

у вузлі кола синусоїдного струму алгебраїчна сума комплексних амплітуд (комплексних діючих значень) синусоїдних струмів віток дорівнює нулю.

Другий закон Кірхгофа в комплексній формі.

Рівняння, складене згідно з другим законом Кірхгофа для миттєвих зна-

чень всіх K напруг у контурі та N ЕРС кола синусоїдного струму, має вигляд:

Якщо у рівняння (3.70) підставити миттєві значення напруг і ЕРС, виражені через комплексні амплітуди

Umk cos(ωt + ψuk ) = Re[Umk e j(ωt +ψuk ) ] = Re[U mk e jωt ]; Emn cos(ωt +ψen ) = Re[Emne j(ωt +ψen ) ]= Re[Emne jωt ] ,

Перетворюючи рівняння (3.71) подібно тому, як це було зроблене вище при виведенні першого закону Кірхгофа в комплексній формі, можна записати:

звідки виходить другий закон Кірхгофа в комплексній формі:

або для комплексних діючих значень:

Якщо кожну з напруг у лівій частині рівнянь (3.72) і (3.73) подати згідно із законом Ома в комплексній формі, другий закон Кірхгофа в комплексній формі можна записати у вигляді рівнянь:

Формулювання другого закону Кірхгофа в комплексній формі:

уконтурі кола синусоїдного струму алгебраїчна сума комплексних

амплітуд напруг дорівнює алгебраїчній сумі комплексних амплітуд ЕРС;

уконтурі кола синусоїдного струму алгебраїчна сума комплексних діючих

значень напруг дорівнює алгебраїчній сумі комплексних діючих значень ЕРС.

3.10 Комплексний метод розрахунку кіл синусоїдного струму

Комплексній метод розрахунку кіл синусоїдного струму виходить із законів Ома і Кірхгофа в комплексній формі. В літературі зустрічається також стара назва методу − символічний.

Комплексний метод, або метод комплексних амплітуд, уперше застосований для розрахунку кіл синусоїдного струму в кінці XIX ст. американськими інженерами Штейнметцем11 і Кеннелі12.

11 Штейнметц Чарлз Протеус, Steinmetz (1865–1923) – американський електро-

технік. Як головний електрик концерну «Дженерал електрик компані» проектував більшість електричних машин і апаратів, які виробляв цей концерн. Дослідницькі роботи присвячені втратам на вихреві струми, світлотехніці, електричним розрядам, інженерній математиці (метод комплексних амплітуд).

Принципи складання і форми запису рівнянь за законами Ома і Кірхгофа в комплексній формі для кіл синусоїдного струму і кіл постійного струму (див. розд. 2) відрізняються тільки тим, що в першому випадку в рівняннях записуються комплексні, а у другому − дійсні числа. Це дозволяє зробити висновок про те, що методи розрахунку для кіл постійного струму, можна розповсюдити на кола синусоїдного струму, застосувавши комплексне подання струмів, напруг, ЕРС, опорів, провідностей. Комплексний метод розрахунку кіл синусоїдного струму загалом складається з таких етапів:

а) постановка задачі в комплексному вигляді, яка включає:

–перехід від миттєвих значень ЕРС (задаючих струмів) джерел напруги (струму) до їх комплексних амплітуд (комплексних діючих значень);

–розрахунок комплексних опорів (провідностей) пасивних елементів;

–складання еквівалентної комплексної схеми кола;

–вибір в еквівалентній комплексній схемі кола умовних позитивних напрямів комплексних струмів і напруг;

б) розрахунок комплексних амплітуд (комплексних діючих значень) шу-

каних струмів і напруг одним з методів: еквівалентних перетворень; рівнянь Кірхгофа; накладання; еквівалентного генератора тощо;

в) перехід від знайдених комплексних амплітуд (комплексних діючих

значень) шуканих струмів і напруг до їх миттєвих значень; г) побудова за результатами розрахунків графічних ілюстрацій (часових і

векторних діаграм); д) аналіз енергетичних співвідношень у колі.

Уконкретних задачах окремі етапи можуть бути відсутніми. Так, в деяких задачах вихідні параметри задаються в комплексному вигляді і потрібно тільки

визначити невідомі струми і напруги − також у комплексному вигляді. Іноді обмежують кількість необхідних графічних ілюстрацій, хоча в окремих задачах, навпаки, побудова часових і особливо векторних діаграм має самостійне значення. Якщо енергетичні співвідношення не є визначальними для розв’язання задачі, енергетичні розрахунки не виконують. Особливості аналізу енергетичних співвідношень в колах синусоїдного струму розглядаються у підрозд. 3.11 і 3.12.

Розв’язання задач комплексним методом ілюструється наступними прикладами.

Приклад 3.7. Визначити методом рівнянь Кірхгофа у загальному вигляді струми у колі (рис.3.28) з параметрами пасивних елементів кола R, L, C і миттєвих зна-

чень ЕРС джерел: e1(t) = Em1 cos(ωt +ψe1); e2 (t) = Em2 cos(ωt +ψe2 );

12 Кеннелі Артур Едвін, Kennely (1871–1945) – американський електротехнік. Учень Едісона. Викладав курс електротехніки в Гарвардському університеті. Керував науковими дослідженнями у галузі електротехніки в Массачусетському технологічному інституті. Одночасно з Хевісайдом запропонував гіпотезу про відбиття радіохвиль від шарів атмосфери (іоносфери), які проводять електрику.

Щоб визначити струми в загальному вигляді, скористаємось матричною формою запису системи рівнянь і матричним методом розв’язання системи:

(Z ) (I m )= (Em ); (I m )= (Z )−1 (Em ),

де (Z ) – матриця узагальнених комплексних опорів; (Z )−1 – обернена матриця узагальнених комплексних опорів; (I m ) – матриця-стовпець невідомих комплексних струмів; (Em ) – матриця-стовпець узагальнених комплексних ЕРС.

Суть узагальнених комплексних опорів і узагальнених комплексних ЕРС аналогічна відповідним поняттям, введеним у підрозд. 2.3 під час розгляду методу рівнянь Кірхгофа для кіл постійного струму.

У даному прикладі вказані матриці мають вигляд:

Приклад 3.8. На рис.3.29,а показана спрощена еквівалентна схема мікрофонного кола телефонного апарату (ТА) в режимі очикування виклику (слухавка укладена). В цьому режимі мікрофон ВМ відімкнений від лінії розмикачем К, який конструктивно виконаний у вигляді двох паралельних пластинок (5×25 мм) на відстані 1 мм одна від одної. Пластини мають паразитну ємність Cп, що дозволяє утворити

канал витоку інформації у вигляді електричного контуру, складеного із зовнішнього джерела високочастотного (ВЧ) сигналу (з частотою 200–1000 кГц), опору навантаження Rн , ємності Cп і мікрофонного кола ТА. Струм контуру буде модульований за

амплітудою внаслідок змінювання опору Rвм мікрофону ТА, що викликане дією акустичних сигналів. Якщо детектувати обвідну ВЧ напруги на опорі Rн , можна на відстанікількохдесятківметрівпрослуховуватирозмовиуприміщенні, девстановленийТА.

Рисунок 3.29 – Еквівалентні схеми:

а – ТА; б – контур з ВЧ сигналом нав’язування

Найпростішим засобом захисту від такого несанкціонованого прослуховування приміщення є увімкнення паралельно ТА шунтувальної ємності Cш = 22...50 нФ

(рис.3.29,б). Значення Cш вибирають так, щоб її опір був великим для коливань зву-

кових частот (300–3400 Гц) і малим для ВЧ сигналу нав’язування (200–1000 кГц). Визначити діапазон змінювання напруги ∆U на резисторі Rн =100 Ом вна-

слідок варіювання опору мікрофона Rвм від 100 до 600 Ом під дією акустичних коливань. З’ясувати вплив шунтувальної ємності Cш = 22 нФ на величину ∆U . Дано: паразитна ємність Cп =5 пФ, діюче значення ВЧ коливань 1 В, частота 1 МГц.

Розв’язання.

1. Розрахуємо комплексні діючі значення струму в контурі нав’язування без урахування ємності Cш (показаний на рис.3.29,б суцільною лінією) та напруги на

опорі Rн за формулами: I н = E /(Rн + Rвм − j /ωCп) ; U н = I нRн . Для Rвм=100 Ом