1 курс / ОТК 1 курс-20191213T204228Z-001 / ОТК / Л_тература по ОТК / otksp_STZI_press для диска

амплітуд збігаються з одиницями вимірювання миттєвих значень відповідних гармонічних процесів.

Амплітуди визначають максимальні відхилення коливань синусоїдних струмів, напруг і ЕРС від середнього значення:

i(t) = Im cos x; u(t) =Um cos x; e(t) = Em cos x .

Незалежна змінна (аргумент) х функцій, що описують синусоїдні струми, напруги і ЕРС, називається фазою; використовують також терміни повна фаза,

поточна фаза, миттєва фаза.

Щоб записати миттєві значення синусоїдних струмів, напруг і ЕРС, необхідно подати фазу х у вигляді функції часу x = ψ(t) . Оскільки ψ(t) є

лінійною функцією часу, для її запису достатньо двох значень. Як одне з них можна вибрати значення повної фази в нульовий момент часу ψ(0) = ψ0 , а як

інше − значення повної фази через період ψ(T ) = ψ0 + 2π.

Значення повної фази в нульовий момент часу ψ0 називається початко-

вою фазою. У зв'язку з періодичністю гармонічних процесів початкові фази змінюються в межах: −π ≤ ψ0 ≤ π.

Отже, фаза гармонічного процесу є лінійною функцією часу (рис.3.1), значення якої в момент часу t = 0 дорівнює початковій фазі ψ0 , а кут нахилу

2π /T = 2π f = ω,

де ω − кутова частота, одиницею виміру якої є радіан за секунду (рад/с). Аналітично повну фазу можна представити так:

де t0 = −ψ0/ω − зсувмаксимумуфункції cos x відноснопочаткувідлікучасу. Діапазону − π ≤ ψ0 ≤ π відповідають межі зміни початку відліку часу:

−T / 2 ≤ t0 ≤T / 2 .

На рис.3.1 показані графіки залежності від часу повних фаз для трьох гармонічних коливань з однаковими частотами ( ω = 2πf ) і різними значеннями по-

чаткових фаз: ψ01 = 0 ; ψ02 > 0 ; ψ03 < 0 . Згідно з виразами (3.1) і (3.2) відповідні

повні фази набудуть вигляду:

ψ1(t) = ωt ; ψ2 (t) = ωt + ψ02 = ω(t −t02 ) ; ψ3 (t) = ωt +ψ03 = ω(t −t03 ) .

Графіки ψ1(t) , ψ2 (t) , ψ3 (t) мають однаковий нахил, який визначається

частотою. Оскільки кут нахилу лінійної функції дорівнює її похідній, кутову частоту можна визначити так:

ω= dψdt(t) .

чок ψ1(t) на інтервал часу t02 , тобто ψ2 (t) = ψ1(t −t02 ) .

Оскільки нульовому значенню аргументу (фази) відповідає максимум функції косинуса, максимальне значення коливання з фазою ψ2 (t) відбуваєть-

ся раніше, ніж максимум коливання з фазою ψ1(t) .

З розглянутими поняттями випередження (або запізнення) за фазою гармонічних коливань пов'язане поняття зсуву фаз ϕ як різниці повних або початкових фаз гармонічних процесів з однаковою частотою і спільним вибором початку відліку часу (див. рис.3.1). Зі зсувом фаз пов'язаний зсув гармонічних процесів у часі: ∆t =ϕ / ω.

Зсув фаз змінюється в межах ± π, а зсув ∆t − у межах ±Т/2.

Гармонічний процес, який упродовж половини періоду раніше досягає максимума, вважається випереджаючим у часі або за фазою.

Прикладом зсувів гармонічних коливань за фазою і у часі є розглянуті вище випередження за фазою ( ϕ21 = ψ02 − ψ01 > 0 ) і у часі ( ∆t21 = −t02 > 0 ) коливання, що має фазу ψ2 (t) , відносно коливання з фазою ψ1(t) . На рис.3.1

показані також фазові зсуви ϕ23 = ψ02 − ψ03 > 0 і ϕ31 = ψ03 − ψ01 < 0 .

Для різних варіантів початкових фаз миттєві значення синусоїдних струмів, напруг і ЕРС записуються у вигляді:

а) якщо початкові фази дорівнюють нулю ( ψ0 = 0 ),

i(t) = Im cos ωt; u(t) =Um cos ωt; e(t) = Em cos ωt;

б) якщо початкові фази відмінні від нуля ( ψ0 ≠ 0 ),

i(t) = Im cos(ωt + ψ0i ); u(t) =Um cos(ωt + ψ0u ); e(t) = Em cos(ωt + ψ0e ),

де ψ0i ; ψ0u ; ψ0e − початкові фази відповідно струму, напруги і ЕРС.

У подальшому, щоб скоротити запис, початкові фази струму, напруги і ЕРС будуть позначатися відповідно ψi ; ψu ; ψe .

Графіки залежності миттєвих значень від часу прийнято називати часови-

ми діаграмами.

Графіки миттєвих значень можна будувати і в функції повної фази. На рис.3.2 для такого варіанта фазова змінна ωt і пов'язані з нею параметри, що відкладаються на графіках по осі абсцис, наведені в дужках.

Часові діаграми струмів i1(t) , i2 (t) та i3 (t) (рис.3.2) відповідають повним фазам ψ1(t) , ψ2 (t) і ψ3 (t) , графіки яких побудовано на рис.3.1.

Рисунок 3.2 – Часові діаграми синусоїдного струму з різними початковими фазами:

ψi1 = 0 (t01 = 0) ; ψi2 > 0 (t02 < 0) ; ψi3 < 0 (t03 > 0)

Аналіз часових діаграм (рис.3.2) дозволяє зробити висновки:

1) початок відліку часу гармонічного процесу (струму, напруги, ЕРС) з нульовою початковою фазою ( ψ = 0 ) збігається з одним з максимумів часової діаграми, тобто з максимальним миттєвим значенням;

2) максимум часової діаграми гармонічного процесу з додатною початковою фазою ( ψ > 0 ) зміщений ліворуч по осі часу (або фазовій осі) на величину

t0 = −ψ/ ω<0 ( −ψ < 0 ); дане коливання випереджає за фазою на ψ (у часі на t0 ) гармонічний процес з нульовою фазою;

3) максимум часової діаграми гармонічного процесу з від’ємною початковою фазою ( ψ < 0) зміщений праворуч по осі часу (або фазовій осі) на вели-

чину t0 = −ψ/ ω> 0 ( −ψ > 0 ); в цьому випадку коливання відстає за фазою на ψ (у часі на t0 ) від гармонічного процесу з нульовою фазою;

4) на часових діаграмах величина і знак початкової фази ψ відповідають відліку від абсциси найближчого максимуму коливання до осі ординат (показано відповідними стрілками на рис.3.2).

Повні і початкові фази можна порівнювати незалежно від розмірності гармонічних процесів. Так, широко використовується оцінка зсуву фаз між на-

Рисунок 3.3 – Часові діаграми струму і напруги, фазовий зсув між якими ϕ= ψu −ψi < 0 (напруга відстає від струму)

Якщо ϕ < 0 (рис.3.3), напруга відстає від струму (струм випереджає напругу). Навпаки, напруга випереджає струм, якщо ϕ > 0 (рис.3.4). Слід зазначити, що фазовий зсув не залежить від вибору початку відліку часу.

Фазові зсуви, кратні π/2, мають спеціальні назви:

а) процеси «синфазні», або перебувають «у фазі», коли ϕ = 0; б) процеси «протифазні» у випадку, коли ϕ = ±π; в) процеси перебувають «у квадратурі», якщо ϕ = ±π/2.

Експериментальне спостереження і вимірювання параметрів синусоїдних струмів, напруг і ЕРС виконується за допомогою осцилографів.

Рисунок 3.4 – Часові діаграми струму і напруги, фазовий зсув між якими ϕ= ψu − ψi > 0 (напруга випереджає струм)

Щоб спостерігати миттєве значення, вимірювати амплітуду і період, синусоїдний процес подається на вхід каналу вертикального відхилення променя електронно-променевої трубки осцилографа. Для відхилення променя по горизонталі формується періодична лінійно зростаюча напруга, період якої

З рівності енергій, що виділені в опорі за період постійним і синусоїдним струмами,

T

RI2T = ∫R[i(t)]2dt

0

виходитьспіввідношеннядлярозрахункудіючого значеннясинусоїдного струму

Аналогічний вигляд мають вирази для діючих значень напруг і ЕРС:

Вирази (3.3) і (3.4) відповідають обчисленню середнього квадратичного значення функції за період, яке широко використовується, щоб розрахувати діючі значення періодичних процесів, у статистичних розрахунках та ін.

Діюче значення не залежить від початкової фази синусоїдного процесу. Тому, обчислюючи діюче значення синусоїдного струму, доцільно прийняти нульову початкову фазу. Підстановка в формулу (3.3) миттєвого значення струму у вигляді i(t) = Im cos ωt дозволяє знайти вираз для діючого значення

синусоїдного струму:

Співвідношення (3.5) застосовують також до синусоїдних напруг і ЕРС:

У пристроях електроживлення синусоїдні струми і напруги перетворю-

ються у постійні. Такі пристрої називаються випрямлячами, а перетворення −

випрямленням. Випрямлення кількісно оцінюється середніми випрямленими значеннями синусоїдних струмів, напруг і ЕРС. Залежно від принципу дії розрізнюють одне- і двонапівперіодні випрямлячі (рис.3.5, 3.6), результати випрямлення в яких характеризуються відповідно однонапівперіодним Iв1 і

Рисунок 3.6 – Двонапівперіодне випрямлення синусоїдного струму

3.4 Векторне і комплексне подання синусоїдних струмів, напруг, ЕРС

Миттєві значення i(t) , u(t) , e(t) досить повно описують синусоїдні стру-

ми, напруги і ЕРС, однак вони незручні, щоб виконувати розрахунки. Якщо скористатися для аналізу кіл синусоїдного струму миттєвими значеннями, то, відповідно до законів Кірхгофа, треба складати рівняння з тригонометричними функціями часу. Розв’язання таких рівнянь, які називають трансцендентними, ускладнюється тим, що невідомими величинами є амплітуди і початкові фази шуканих струмів і напруг, а відомими − параметри джерел (амплітуди, початкові фази і частота). У зв'язку з цим, застосувують інші способи подання гармонічних процесів, що спрощують операції підсумовування і віднімання гармонічних процесів з однаковою частотою, та розв’язання систем рівнянь, складених за законами Кірхгофа. Цим вимогам відповідають векторне і комплексне подання синусоїдних струмів, напруг і ЕРС.

Векторне подання засноване на відомому визначенні тригонометричних функцій як проекцій одиничного вектора. При цьому проекція вектора на горизонтальну вісь відповідає cosα, а проекція на вертикальну вісь − sin α, де α − кут, який відлічується проти годинникової стрілки від горизонтальної осі до вектора. Якщо щодо гармонічних процесів застосувати векторне подання, то вектор стане таким, що обертається. Параметри цього вектора однозначно пов'язані з параметрами відповідного процесу: швидкість обертання дорівнює кутовій частоті ω; довжина вектора збігається з амплітудою; кутове положення вектора в будь-який момент часу відповідає фазі ψ(t) = ωt +ψ, а в момент часу

= − ψ ~

t 0 початковій фазі . На рис.3.7 зображений вектор i (t) , що обертається, і

показано, як отримати за його допомогою миттєві значення струму в синусоїдній і косинусоїдній формах запису.

Крім наочного зображення гармонічних процесів, векторне подання істотно спрощує операції підсумовування і віднімання миттєвих значень. Відомо, що проекція суми (різниці) двох і більше векторів на будь-яку вісь дорівнює сумі (різниці) проекцій цих векторів на ту ж вісь (властивість комутативності векторів). Оскільки для векторів, що обертаються, ця властивість справедлива в будь-який момент часу, то у разі однакової швидкості обертання векторів операції підсумовування (віднімання) миттєвих

значень можуть бути зведені до підсумовування (віднімання) відповідних векторів в один з моментів часу, наприклад, t = 0.

Недоліком векторного подання синусоїдних струмів, напруг і ЕРС є неточність графічних способів його реалізації і складність застосування для розв’язання систем рівнянь.

Поєднати переваги векторного подання гармонічних процесів і надати операціям над векторами аналітичної форми дозволяє перенесення векторів, що обертаються, на комплексну площину (рис.3.8).

Рисунок 3.7 – Подання синусоїдного струму у вигляді проекцій вектора, що обертається

t

По осі абсцис комплексної площини відкладають дійсні (реальні) складові комплексних чисел. Тому ця вісь називається дійсною і позначається Re .

Таке позначення дійсної осі пов'язане з операцією Re[...]7, що означає виділення дійсної частини комплексного виразу в дужках.

Вісь ординат комплексної площини називається уявною, оскільки на ній відкладають уявні частини комплексних чисел. Позначення уявної осі Im зумовлене операцією виділення уявної частини комплексного виразу Im[...]8.

Не слід плутати позначення уявної осі та операції виділення уявної частини з позначенням амплітуди струму Im .

Комплексні числа, що відповідають векторам на комплексній площині, прийнято позначати підкреслюванням. Основні терміни і позначення, які застосовуються в комплексному методі аналізу кіл, наведені на рис.3.8 і в табл.3.3, а операції над комплексними числами − в табл.3.4.

7Позначення дійсної осі комплексної площини Re і операції визначення дійсної частини комплексного числа пов’язані з першими літерами слова real (реальний).

8Позначення Im − це перші літери слова imaginary (уявний).

Алгебра комплексних чисел грунтується на формулі Ейлера9 e jα = cosα + j sin α,

де e ≈ 2,718 – основа натуральних логарифмів, j – уявна одиниця. Вектори, що обертаються в комплексній площині, проекції яких відпові-

дають синусоїдним струмам, напругам і ЕРС, називають комплексними миттє-

вими значеннями (комплексними гармоніками) і позначають відповідно i(t), u(t), e(t). Комплексні миттєві значення можна записати в одній з трьох

форм запису комплексних чисел − показниковій, тригонометричній і алгебраїчній:

i(t)= Ime j(ωt+ψi ) = Im cos(ωt +ψi ) + jIm sin(ωt +ψi ) = Re[i(t)]+ j Im[i(t)]; (3.7)

u(t)=Ume j(ωt+ψu ) =U m cos(ωt +ψu ) +jU m sin(ωt +ψu ) = Re[u(t)]+j Im[u(t)]; (3.8) e(t)= Eme j(ωt +ψe ) = Em cos(ωt +ψe ) + jEm sin(ωt +ψe ) = Re[e(t)]+ j Im[e(t)].(3.9)

9 Ейлер Леонард, Euler (1707–1783) – видатний швейцарський математик, фізик, механік і астроном; академік Петербурзької та Паризької АН. У галузі математики вперше використав поняття функції комплексної змінної, зробив значний внесок у теорію чисел, диференціальну геометрію, теорію спеціальних функцій, варіаційне числення, теорію імовірностей, топологію. Працював в області навігації, суднобудування, оптики, опору матеріалів; розраховував політ аеростата.