§ 22. Понятие об имитационном моделировании

Не для всякого объекта, в частности не для каждой задачи может быть построена адекватная классическая математическая модель. Например, такой задачей будет [10, с. 132]: Сумма, равная 53 коп., составлена из трехкопеечных и пятикопеечных монет, общее число которых меньше 15. Если в этом наборе монет трехкопеечные монеты заменить пятикопеечными, а пятикопеечные – трехкопеечными, то полученная в результате сумма уменьшится по сравнению с первоначальной, но не более, чем в 1,5 раза. Сколько трехкопеечных монет было в наборе?

Пусть в наборе было трехкопеечных монет и – пятикопеечных, тогда имеет место уравнение

, (22.1)

являющееся компонентом классической математической модели, в которую необходимо включить и два неравенства, соответствующие условию задачи. Но решение указанной смешанной системы, как отмечают авторы книги [10, с. 132], не даст ответа, ибо не все условия задачи можно записать в виде уравнений и неравенств. Поэтому в процессе решения задачи нужны и некоторые рассуждения. Очевидно, равенству (22.1) удовлетворяют лишь те значения у, для каждого из которых число делится на 3, а это условие и нельзя записать в виде уравнения или неравенства. Однако перебор всех возможных значений натуральных чисел и , удовлетворяющих уравнению (22.1), можно осуществить с помощью соответствующего алгоритма или компьютерной программы, результатом исполнения которых будет четыре пары значений: (16; 1), (11;4), (6;7), (1; 10). Если решать задачу без применения ЭВМ, то можно не выписывая неравенств, проверить указанные пары по тексту задачи и получить однозначный ответ: только одна пара чисел = 6, = 7 удовлетворяет условию задачи. Итак, в наборе было 6 трехкопеечных монет.

Конечно, для решения уравнения (22.1) в системе координат (рисунок 22.1) с помощью компьютера можно построить график этого уравнения, из которого видно, что он проходит через четыре точки с целочисленными координатами (1; 10), (6; 7), (11; 4) и (16; 1), одна- ко эти наглядные результаты следует проверить непосредственной подстановкой в уравнение указанных координат. Теперь по тексту задачи убеждаемся, что координаты двух последних точек условию задачи не удовлетворяют, поскольку сумма координат каждой из них не меньше 15. Далее, делая проверку, опять - таки по тексту задачи, приходим к выводу, что координаты первой точки условию не удовлетворяют, так как , что больше 1,5 и только координаты точки (6; 7) удовлетворяют всем условиям задачи. Следовательно, в первоначальном наборе было 6 трехкопеечных монет.

Рисунок 22.1– Отрезок прямой 3х+5у=53

Подчеркнем: при применении компьютерных графиков к решению задач следует учитывать диапазон изменения координат и в соответствии с ним устанавливать параметры построения. Этим требованиям для последней задачи (рисунок 22.1) удовлетворяют выбранные нами значения параметров: для оси (0: 20), оси (0:10), количество вертикальных линий – 20, количество горизонтальных линий – 10. Поскольку в рассмотренной задаче переменные и являются числами натуральными, отрицательные значения координат не используются.

Уже рассмотренный простой пример свидетельствует о том, что не каждую задачу можно решить методом классического математического моделирования. А если задача сложная? Итак, необходим метод исследования сложных систем. И такой метод появился и получил название «имитационное моделирование», что представляет дословный перевод английского «Simulation modeling». Как справедливо отмечено в [7, с. 117] перевод сделан не слишком хорошо, поскольку в нём содержится тавтология. Но ясно одно: имитационное моделирование является обобщением классического математического моделирования. И как математическая модель, так и всякая другая и имитационная модель создается для ответа на вопросы о моделируемом объекте в самом широком смысле. «Суть метода имитационного моделирования состоит в том, что процесс функционирования сложной системы представляется в виде определенного алгоритма, который и реализуется на ЭВМ» [7, с. 118]. Работа с имитационной моделью представляет собой вычислительный эксперимент, обычно осуществляемый на ЭВМ.

При построении имитационных моделей так же как и математических, если необходимо, могут формулироваться гипотезы, которые включаются в описание модели.

Рассмотрим химическую задачу: При сгорании вещества массой 7,872 г получены оксид углерода IV массой 10,824 г и вода массой 8,856 г. Относительная плотность паров этого вещества по воздуху равна 1,1035. Найти молекулярную формулу вещества.

Исключим из условия всю количественную информацию, кроме плотности, да и ее округлим до 1,10, тогда .

Из условия переформулированной задачи следует, что вещество может содержать кислород. Предположим (гипотеза), что кислород не входит в состав соединения, т.е. оно углеводород, формулу которого запишем в виде , тогда для определения неизвестных индексов получим систему: и . Построив с помощью компьютера графики функций и (рисунок 22.2) увидим, что эта система в натуральных числах решений не имеет, т.е. гипотеза неверна. Следовательно, вещество, о котором идет речь в задаче, содержит кислород. Поскольку оно состоит из углерода, водорода и кислорода, в его молекуле будет только один атом кислорода, на который приходится 16 единиц из 32, а тогда на оставшиеся 16 единиц могут приходиться только один атом углерода и 4 атома водорода. Значит, – его молекулярная формула.

Рисунок 22.2– Пересечение графиков функций:

и

И теперь подчеркнём: рассмотренная в начале этого параграфа простая учебная задача показывает, что имитационная модель может выступать в роли лаборатории, в которой анализируются элементы некоторых множеств, часть из которых отсеивается, а часть остается для дальнейшего использования.

А вот как характеризует имитационное моделирование Е.С. Вентцель [5, c. 146]:«Оно применяется к процессам, в ход которых может время от времени вмешиваться человеческая воля. Человек … может, в зависимости от сложившейся обстановки, принимать те или другие решения, подобно тому, как шахматист, глядя на доску, выбирает свой очередной ход. Затем приводится в действие математическая модель, которая показывает, какое ожидается изменение обстановки в ответ на это решение и к каким последствиям оно приведет… Следующее «текущее решение» принимается уже с учетом реальной новой обстановки и т. д. В результате многократного повторения такой процедуры руководитель как бы «набирает опыт» … и постепенно выучивается принимать правильные решения…»

Опишем имитационную модель решения задачи: Установить молекулярную формулу углеводорода, относительная молекулярная масса которого равна 30. Сначала построим математическую модель, которую затем включим в имитационную модель, как, более общую. Обозначив через и число атомов углерода и водорода в углеводороде, формулу которого запишем в виде , построим для определения неизвестных индексов математическую модель: , где и – натуральные числа. Из этой модели невозможно выразить и через исходные данные в виде формулы. В сложившейся обстановке принимаем решение осуществлять перебор всех возможных натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению. Итак, пусть , тогда из уравнения , но из-за несоответствия валентностей такого углеводорода нет. На основе математической модели принимаем следующее «текущее решение» , но тогда из уравнения следует, что . Очевидно, не может быть , следовательно, – молекулярная формула углеводорода. Таким образом, имитационная модель обобщает математическую и может быть описана с помощью алгоритма, содержащего математическую модель и соответствующие команды информатики (например, ветвления или повторения).

А так характеризуется имитационное моделирование в [24, c. 140]: «Разновидностью вычислительного эксперимента является так называемое имитационное моделирование, применяемое для анализа поведения сложных экономических и т. п. задач, для которых математическую модель в виде системы уравнений даже выписать затруднительно».

Теперь укажем один из способов решения задачи, встречающейся в школьных учебниках математики и информатики: Найти наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел и .

НОД( и ) невозможно записать в виде формулы, т.е. для его нахождения нельзя построить классическую математическую модель, но можно создать имитационную модель, основанную на том свойстве, что если > , то

НОД( и ) = НОД(( – ) и ))

и описанную с помощью алгоритма последовательного вычитания:

1) если числа равны, то взять любое из них в качестве ответа, в противном случае продолжить выполнение алгоритма;

2) определить большее из чисел;

3) заменить большее число разностью большего и меньшего из чисел;

4) перейти к пункту 1).

Этот алгоритм, известный под названием алгоритма Евклида, состоит из отдельных команд, каждая из которых представляет простое действие. Его особенность состоит в том, что все действия, указанные в алгоритме, могут повторяться многократно.

Величина разности между большим и меньшим из чисел, фигурирующих в алгоритме, с каждым новым вычитанием уменьшается, а потому после конечного числа повторений, сравниваемые числа обязательно станут равными. Этот алгоритм применим к любым натуральным числам, и всегда за конечное число шагов приводит к решению поставленной задачи, но является трудоёмким, хотя именно он приводится в пособии для средних учебных заведений «Основы информатики и вычислительной техники» под редакцией А.П. Ершова и В.М. Монахова.

Заканчивая этот параграф отметим, что в большинстве случаев практически более выгодным для отыскания НОД двух натуральных чисел является другой алгоритм Евклида, основанный на методе последовательного деления [37, c. 31], а для небольших чисел чаще всего используется способ разложения их на простые множители с последующим составлением из таких множителей по хорошо известным правилам НОД данных чисел. Если НОД нескольких натуральных чисел равно 1, то такие числа называются взаимно простыми.

…ЭВМ, проникшие сейчас в самые

разнообразные области деятельности,

были впервые созданы именно для

«обслуживания» математических моделей.

А.Д. Мышкис