4.2 Цикл Карно

Аналіз дії теплової або холодильної машини виконується на підставі принципу еквівалентності та принципу Карно.

Цикл Карно є найбільш ефективним термодинамічним циклом. Цей цикл, розроблений Карно у 1824 році, має особливе значення в теорії термодинаміки як для порівняння роботи дійсних теплових двигунів з роботою ідеального двигуна, так і для встановлення основних положень другого закону термодинаміки.

Карно перший зрозумів, що аналіз дії реальних теплових машин необхідно робити, використовуючи ідеальну машину, що відтворює розглянутий процес у чистому, незалежному, неспотвореному вигляді.

Що ж собою являє ідеальна теплова машина Карно?

За принципом Карно, теплова машина може виконувати роботу тільки при наявності двох джерел теплоти. Розміри нагрівача й холодильника і їхня природа такі, що їх температури залишаються постійними при віддачі й одержанні теплоти. Якщо температура тіла не залежить від інтенсивності теплової взаємодії, то таке тіло називають термостатом. Це поняття є ідеалізацією, але можна уявити собі системи, які здатні віддавати теплоту, залишаючись при постійній температурі. Наприклад, посудина з парою, що перебуває в рівновазі з гарячою водою, може віддавати й поглинати теплоту без зміни температури. Коли теплота відбирається, частина пари переходить у рідину при тій же температурі. Цей процес називається конденсацією. Він постійно відбувається в холодильній установці при перетворенні пари холодоагента в киплячу рідину. Коли теплота поглинається, частина рідини випаровується, що так само має місце в холодильній установці при відборі тепла від охолоджуваних речовин. Поки одночасно існує пара й рідина, причому тиск залишається постійним, температура не буде змінюватися, незважаючи на теплову взаємодію.

При виробництві тепловою машиною певної кількості роботи, рівна кількість теплоти зникає, а інша її кількість переходить від нагрівача до холодильника. Алгебраїчна сума підведеної теплоти q₁ і відведеної теплоти q₂ дорівнює, за принципом еквівалентності, сумарній кількості роботи А, зробленої тепловою машиною:

(4.1)

Існує єдина можливість не порушити ідеальності машини: здійснити перехід теплоти від нагрівача до машини без “падіння” теплоти, тобто при сталості їхніх температур. Для цього необхідно, щоб машина одержувала тепло при рівності температур нагрівача й машини, допускаючи, що температура машини на нескінченно малу величину менше температури нагрівача. У іншому випадку (рівність температур машини й нагрівача) перехід теплоти неможливий. Аналогічно теплова машина віддає тепло холодильнику. Таким чином, машина повинна сприймати й віддавати теплоту тільки в ізотермічному процесі, коли dq = dА, тобто все тепло йде на здійснення роботи.

Ізотермічний процес протікає при Т = const або dТ = 0. При цьому необхідно пам’ятати, що для здійснення процесу (виводу робочого тіла зі стану рівноваги) необхідно підвести або відвести певну кількість теплоти, підтримуючи температуру тіла постійною.

Такий теоретичний ізотермічний процес може протікати в циліндрі поршневої машини, якщо в міру підведення теплоти до робочого тіла поршень машини переміщається, збільшуючи об’єм настільки, що температура робочого тіла залишається постійною. У цьому процесі підведення теплоти миттєво компенсується зниженням температури робочого тіла за рахунок розрідження, що створюється при переміщенні поршня. Отже, у процесі при постійній температурі з підведенням теплоти тиск падає, а при відведенні - зростає.

Для замикання кругового процесу, температура робочої речовини машини повинна змінюватися від температури нагрівача до температури холодильника, а потім від температури холодильника знову до температури нагрівача. При цьому необхідно виключити контакт машини з нагрівачем і холодильником. Тому що в іншому випадку “падіння” теплоти буде відбуватися без здійснення роботи. Отже, для збереження ідеальності машини, обидва ці етапи доцільно здійснювати в адіабатному процесі, коли dА = - du, тобто перехід на більш низький або більш високий рівень температури відбувається зі здійсненням роботи за рахунок внутрішньої енергії робочого тіла на першому етапі та з витратою її на другому.

Адіабатний процес може протікати в циліндрі ізольованому від навколишнього середовища ідеальною тепловою ізоляцією. При адіабатному процесі зміна стану робочого тіла відбувається без теплообміну з зовнішнім середовищем. У цьому випадку dq = 0, q = 0.

Умова q = 0 для адіабатного процесу є необхідною, але недостатньою. Дійсно, на початку стиснення газу в циліндрі, наприклад, автомобіля, температура стінок циліндра буде вище температури робочого тіла, тому що упорскування нової порції робочого тіла здійснюється тільки після завершення попереднього циклу, у якому стінки циліндра одержали певну кількість теплоти. У цьому випадку теплота буде передаватися від стінок циліндра до робочого тіла. У міру стиснення газу, температура його підвищується настільки, що наприкінці стиснення стінки циліндра виявляються холодніші за газ, у зв’язку з чим тепловий потік змінить свій напрямок – робоче тіло віддаватиме теплоту стінкам циліндра. В окремому випадку, кількість теплоти, отримана газом від стінок циліндра на початку стиснення, може виявитися рівною кількості теплоти, відданої газом стінкам циліндра наприкінці стиснення. Отже, сумарний теплообмін робочого тіла із зовнішнім середовищем виявиться рівним нулю, хоча процес стиснення був відверто не адіабатним. Таким чином, необхідним та достатнім для адіабатного процесу є не умова q = 0, а умова dq = 0.

При dq = 0 рівняння першого закону термодинаміки для адіабатного процесу має вигляд:

du = - dА

З цього рівняння видно, що робота адіабатного процесу розширення відбувається внаслідок зменшення внутрішньої енергії газу а, отже, температура газу зменшується. Робота адіабатного стиснення повністю йде на збільшення внутрішньої енергії газу, тобто на підвищення його температури. Таким чином, зміна внутрішньої енергії й робота в адіабатному процесі еквівалентні за величиною та протилежні за знаком.

Розглянемо ідеальний цикл Карно у викладі самого Карно та у графічній формі, запропонованій Клапейроном (рис. 4.2)

Нехай у циліндрі під поршнем (рис.4.2а), що займає в початковий момент положення сd , у стані рівноваги перебуває повітря. Два тіла А і В мають постійну температуру (термостати), причому температура Т₁ > Т₂. Теплообмін між газом і стінками відсутній, у той час як дно циліндра повинне бути гарним провідником тепла.

Приведемо в зіткнення тіло А з дном циліндра, що легко проводить теплоту. Повітря прийме температуру Т₁ тіла А, яке передасть повітрю деяку кількість теплоти, в міру його розширення. Температура повітря буде підтримуватися постійною, незалежно від того, скільки теплоти “втікає” у циліндр або “витікає” з нього. Поршень безупинно піднімається й переходить з положення cd у положення ef. На Pv – діаграмі ізотермічне розширення відбувається по лінії 1-2 (рис.4.2б). Уся підведена до повітря теплота перетворюється в цьому процесі повністю в роботу. Що може бути краще – одержуй скільки завгодно роботи з максимальним ККД.

Р а q₁

g h 1 б

e f dq=0 +A 2

T₁=const

4

c d dq=0

i k q₂ 3 T₂=const

V

A B

T ₁ T₂

Рис.4.2. Цикл Карно: а – по Карно; б – у графічній формі.

Однак, зрозуміло, що процес розширення по ізотермі не може тривати необмежений час і не тільки тому, що хід поршня не можна влаштувати як завгодно протяжним, але й тому, що розширення припиниться, як тільки тиск з обох боків поршня зрівняється. Тобто, підведення теплоти при сталості внутрішньої енергії придатне тільки для одноразовb[ діючих пристроїв, але аж ніяк не для двигуна, що покликаний виконувати роботу безупинно. Для одержання необмеженої кількості роботи, необхідно забезпечити оборотний круговий процес. Це значить, що необхідно перейти на більш низький температурний рівень, якого економічно можна досягти лише при продовженні розширення по адіабаті.

Видалимо тіло А. Поршень продовжить свій рух і займе положення gh. Повітря, будучи ізольованим від навколишнього середовища, не одержує теплоти. Тиск у циліндрі продовжує знижуватися з одночасним зниженням температури його по адіабаті 2-3. Припустимо, що після зупинки поршня температура повітря знизиться від Т₁ до Т₂, прийнявши значення температури тіла В.

Приведемо повітря в зіткнення з тілом В і здійснимо зворотне переміщення поршня, приклавши до нього певне зусилля, тобто виконавши роботу. Завдяки контакту з тілом В, температура повітря підтримується постійною з віддачею теплоти q₂ тілу В. Відбувається стиснення по ізотермі 3-4.

Видалимо тіло В, коли поршень займе положення ef, і продовжимо стиснення повітря по адіабаті 4-1 доти, поки повітря не досягне температури тіла А. Поршень перейде з положення ef у положення ik.

Відновимо контакт із тілом А і поршень повернеться в положення ef при незмінній температурі й так далі.

Розглянемо сумарний результат наведеного циклічного процесу. На етапах стиснення відбувалася робота над газом; на етапах розширення газ, виконував роботу. Яка робота більше наочно видно з рис. 4.2 б. Площа під кривими 1-2 й 2-3 від точки 1 до точки 3 являє роботу, виконану системою над навколишнім середовищем у процесі розширення. У процесі стиснення уздовж шляху 3-4-1 відбувається робота над системою з боку навколишнього середовища. Зрозуміло, що різниця між повною роботою, виконаною системою, і повною роботою, виконаною навколишнім середовищем над системою, дорівнює остаточній кількості роботи, що виконана системою за повний цикл. Ця різниця чисельно дорівнює площі, обмеженій замкнутою кривою, що складається з ділянок 1-2, 2-3, 3-4 й 4-1.

Якщо розглянуті операції провести у зворотному напрямку (рис.4.3), то теплова машина перетвориться в холодильну.

Приведемо повітря в зіткнення з тілом В, доклавши зусилля до поршня, почнемо переміщати його нагору. Переходячи з положення cd у положення gf, повітря буде розширюватися, створюючи розрідження в циліндрі. Однак, спад температури повітря не відбудеться, тому що він буде одержувати теплоту q₂ від тіла В (у холодильній установці ця теплота надходе від охолоджуваних тіл). Процес розширення буде відбуватися по ізотермі 2-3 при Т₂ = const.

Після видалення тіла В, повітря продовжують стискати по адіабаті 3-4 доти, поки воно не досягне температури тіла А, зайнявши положення ef. Завдяки подальшому контакту з тілом А, повітря продовжує стискуватися по ізотермі 4-1, віддаючи теплоту, що виділяється при стисненні, у кількості q₁ (у холодильній установці цей процес відбувається в конденсаторі).

Після приходу поршня в положення ik, тіло А віддаляється й повітря розширюється зі зниженням температури по адіабаті 1-2. Розширення триває доти, поки повітря не досягне температури тіла В, переводячи поршень з положення ik в ef. Цикл закінчений і може бути повторений безліч разів.

Отже, результат циклу, що відбувається по годинній стрілці (рис.4.4 а), полягає в передачі теплоти від високотемпературного джерела, віддачі теплоти низькотемпературному джерелу й здійсненні роботи над середовищем.

Р 1 q₁

4 T₁ = const

dq =0 -А

dq = 0

2

T₂ = const

q₂ 3

V

Рис.4.3. Зворотній цикл Карно.

У випадку циклу, що відбувається проти годинної стрілки, теплота від низькотемпературного джерела передається високотемпературному, а кінцева робота відбувається над системою ( рис.4.4 б).

висока

температура висока

температура

теплота

а б

робота

робота

теплота

низька

низька температура температура

температура

Рис.4.4.Цикли: а – теплова машина, б – холодильна машина.

Економічну ефективність циклів оцінюють термічним коефіцієнтом корисної дії ( ККД ) і холодильним коефіцієнтом.

Термічним ККД називають відношення перетвореної в роботу теплоти q₀ до теплоти, підведеної до робочого тіла за цикл:

( 4.2 )

Холодильним коефіцієнтом називають відношення кількості теплоти q₂ , відведеної в оборотному циклі від охолоджуваної системи, до роботи, витраченої в цьому циклі:

( 4.3 )

З Т-S діаграми ( рис.4.5 ) виходить:

q₁ = пл. 12S₁S₂ 1 = T₁( S₂ – S₁ )

q₂ = пл. 34S₁S₂3 = T₂( S₂ – S₁ ),

Тоді, використовуючи ( 4.1 ), одержимо:

( 4.4 )

За аналогією для зворотного циклу Карно одержимо:

( 4.5 )

З ( 4.4 ) витікає:

- ККД циклу Карно не залежить від природи робочої речовини, а залежить винятково від температури джерела й температури приймача (холодильника);

- ККД циклу Карно завжди менше одиниці, тому що робоче тіло не може мати температуру нескінченно високу (Т₁ = ∞), а температура холодильника не може дорівнювати абсолютному нулю (Т₂ = 0). Це свідчить про те, що хоча цикл Карно й оборотний, все-таки енергію, яка підводиться в циклі у формі тепла, не вдається повністю перетворити в роботу. Це твердження має загальний характер: тепло, що підводиться у круговому процесі, повністю перетворити в роботу неможливо.

- ККД циклу Карно збільшується при зростанні температури Т₁ джерела теплоти й при зменшенні температури Т₂ холодильника;

- ККД циклу Карно дорівнює нулю, якщо Т₁ = Т₂. Це підтверджує положення про те, що тепло не можна перетворити в роботу, якщо немає різниці температур.

Підтвердити вище сказане можна простими розрахунками. Уявімо, що холодильник має температуру 20 ⁰С або Т₂ = 293 ⁰К. Задаючись різними температурами джерела, одержимо:

Т₁, ⁰ К 373 473 673 873 1073 1273 1773

η_t 0,21 0,38 0,56 0,66 0,73 0,77 0,83

Із цих співвідношень видно, що збільшення температури джерела є досить ефективним засобом для підняття ККД. Очевидно, що збільшення ККД може бути також досягнуте шляхом зниження температури холодильника. Однак, використання цієї можливості не має практичного значення, тому що штучне створення низької температури вимагає значної витрати енергії, що недоцільно.

T T

q₁ q₁

1 2 T₁=const 1 4 T₁=const

q₀=q₁-q₂ q₀=q₁-q₂

4 3 T₂=const 2 3 T₂=const

q₂ q₂

S₁ S₂ S S₁ S₂ S

Рис.4.5. Цикл Карно: а – прямий, б – оборотній.

Звернемося тепер до холодильного коефіцієнта (4.5) та виконаємо ті ж дії, що й із ККД, тобто задамо значення Т₁ = 20 ⁰С та переберемо кілька значень Т₂. Очевидно, ви звернули увагу на те, що в першому випадку ми задаємо значення Т₂, а в другому – Т₁. Це передбачено тим, що вираз (4.2) справедливий для теплової машини, що поглинає тепло при Т₁ і віддає тепло при Т₂ виконуючи при цьому позитивну роботу, а вираз (4.3) справедливий для холодильної машини, що поглинає тепло при Т₂ і віддає його при Т₁ за рахунок витрати зовнішньої роботи. Через те що в холодильному циклі витрачається робота, то за виразом (4.3) для одержання позитивного значення холодильного коефіцієнта необхідно поміняти знак, тоді одержимо:

Т₂, ⁰К 273 223 173 123 73 23

14,65 4,18 2,44 1,72 1,33 1,08

Ці співвідношення показують, що холодильний коефіцієнт циклу Карно тим більше, чим вище Т₂ та чим нижче Т₁. Чим більший холодильний коефіцієнт, тим менше роботи затрачюється на одержання одиниці холоду, тобто вище економічність холодильної установки.

Відзначимо ще одну особливість циклу Карно.

Томсон уперше звернув увагу на можливість використання властивостей циклу Карно для побудови абсолютної шкали температур.

З (4.4) виходить:

, (4.6)

Отже, здійснивши цикл Карно й вимірявши q₁ й q₂, а також вибравши одну реперну точку з температурою Т₂ на основі рівності (4.6) можна визначити температуру Т₁ будь-якого тіла. Побудована в такий спосіб температурна шкала, що не залежить від властивостей робочого тіла, називається абсолютною термодинамічною шкалою, або шкалою Кельвіна. Важливою властивістю цієї шкали є однаковість знака температури всіх тіл; це означає, що існує гранична температура, названа абсолютним нулем. З рівняння (4.6) видно, що найменша з можливих температур відповідає випадку, коли q₂ = 0. Ця температура і є абсолютний нуль.