- •1 Глава 1. Тензоры в декартовых координатах.
- •1 Символ Кронекера и тензор Леви-Чивиты.
- •1.1 Символ кронекера.
- •1.2 Тензор Леви-Чивиты.
- •2 Дифференцирование и интегрирование тензоров.
- •2.1 Дифференциальные операции.
- •2.2 Теорема о дивергенции.
- •3 Приведение симметричного тензора 2-го ранга к каноническому виду.
- •3.1 Симметричные и антисимметричные тензоры.
- •3.2 Главные направления и главные значения тензора.
- •3.3 Приведение тензора к каноническому виду.
- •3.4 Тензорная поверхность.
- •2 Деформация.
- •1 Деформация и принцип ее описания.
- •1.1 Лагранжево и Эйлерово описание движения сплошной среды.
- •1.2 Тензор деформаций.
- •1.3 Ьалая деформация. Тензор Коши.
- •2 Теоретический смысл компонент тензора деформаций.
- •2.1 Изменение длины отрезков при деформации.
- •2.2 Изменение углов при деформации.
- •3 Разложение смещения на деформацию и вращение.
- •3.1 Разложение смещения.
- •3.2 Геометрический смысл компонент тензора
- •3.3 "Элементарные" деформации.
- •4 Относительная деформация в заданном направлении.
- •4.1 Выражение для относительной деформации в заданном направлении.
- •4.2 Иллюстрация тензорной природы
- •5 Главные оси, главные значения инварианты тензора деформаций.
- •5.1 Главные оси и главные значения.
- •5.2 Инварианты тензора деформаций.
- •5.3 Шаровой тензор и девиатор деформаций.
- •5.4 Дополнение. Иллюстрация: приведение тензора к каноническому виду.
- •6 Соотношения Сен-Венана (условия совместимости деформаций.
- •6.1 Зависимости деформаций водной плоскости.
- •6.2 Зависимости компонент деформации в разных плоскостях.
- •6.3 Соотношения Сен-Венена и непрерывность среды.
- •3 Напряжения.
- •1 Тензор напряжений.
- •1.1 Сплошность среды и принцип Коши.
- •1.2 Тензор напряжений.
- •1.3 Физический смысл компонент тензора напряжений.
- •1.4 Симметричность тензора напряжений.
- •2 Равновесие сплошной среды.
- •2.1 Уравнение равновесия.
- •2.2 Уравнение моментов.
- •2.3 Условие равновесия на поверхности тела.
- •2.4 Средние значения тензора напряжений.
- •3 Нормальные и касательные напряжения.
- •3.1 Разложение вектора напряжений.
- •3.2 Нормальные напряжения.
- •0.1 Касательные напряжения.
- •2 Главные направления, главные значения, инварианты тензора напряжений.
- •2.1 Приведение тензора напряжений к каноническому виду.
- •0.1 Максимальные нормальные напряжения.
- •0.2 Шаровой тензор и девиатор напряжений.
- •2 Особенные напряжения.
- •2.1 Максимальные касательные напряжения.
- •2.2 Октаэдрическая площадка.
- •4 Упругость.
- •5 Обобщенный закон Гука.
- •5.2 Обобщенный закон Гука.
- •6 Термодинамика деформирования.
- •6.1 Работа при деформации.
- •6.2 Основные термодинамические соотношения.
- •7 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •7.1 Свободная энергия упругой среды.
- •7.2 Свойства упругой свободной энергии.
- •7.3 Обобщенный закон Гука.
- •7.4 Потенциальная энергия упругой деформации.
- •8 Упругость с точки зрения термодинамики
- •9 Закон Гука для однородной и изотропной среды.
- •9.1 Однородность и изотропность.
- •9.2 Закон Гука в однородной изотропной среде.
- •10 Упругие модули
- •10.1 Модуль всестороннего сжатия.
- •11 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •11.1 Модуль сдвига.
- •11.2 Модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
- •11.3 Соотношения между модулями.
- •12 Деформация с изменением температуры.
- •12.1 Закон Гука.
- •12.2 Изотермические и адиабатические модули.
- •6 Уравнение движения упругой среды.
- •1 Уравнение движения.
- •2 Уравнение движения.
- •3 Уравнения движения упругой среды.
- •3.1 Уравнение движения однородной анизотропной упругой среды.
- •3.2 Уравнения движения однородной изотропной упругой среды.
- •3.3 Закон сохранения энергии при движении сплошной среды.
- •5 Теоремы единственности и взаимности.
- •5.1 Начальные и граничные условия к уравнению движения.
- •5.2 Теорема единственности.
- •5.3 Теорема Бетти(e.Betti).
- •6 Теорема единственности и взаимности.
- •7 Упругие волны.
- •1 Волновые уравнения для однородной изотропной упругой среды.
- •2 Решения волнового уравнения.
- •2.1 Монохроматические волны.
- •2.2 Сферические волны.
- •2.3 Плоские волны.
- •2.4 Плоские монохроматические волны.
- •3 Скорости упругих волн.
- •3.2 Общий принцип отыскания скоростей волн в сплошной среде.
- •4 Поляризация упругих волн.
- •4.1 Поляризация волн
- •4.2 Поляризация волны .
- •4.3 Геометрическая иллюстрация.
- •5 Энергия упругих волн.
- •5.1 Плотность энергии.
- •5.2 Поток энергии. Вектор Умова.
- •6 Отражение и преломление упругих волн.
- •6.1 Граничные условия.
- •6.2 Законотражения и преломления.
- •6.3 Отражение и преломление упругих волн.
- •7 Упругие волны в анизотропной однородной среды.
- •7.1 Уравнение дисперсии.
- •7.2 Свойства упругих волн в анизотропной среде.
- •8 Поверхностные волны.
- •8.1 Неоднородные плоские волны.
- •8.2 Поверхностная волна Релея (Rayleigh, 1885)
- •8.3 Поверхностная волна Лява
4 Относительная деформация в заданном направлении.
Найдем выражение для величины относительной деформации (213) для элемента длины, ориентированного в некотором заданном направлении. Поскольку тензор деформации полностью характеризует дефрмацию среды, искомая величина должна выражаться через компоненты тензора деформаций.
4.1 Выражение для относительной деформации в заданном направлении.
Рассмотрим элемент такой, что и введем направляющие косинусы, определяющие направления элемента :
(76)
Ясно, что
По определению (213) относительной деформации :
где --- величина элемента после деформации. Отсюда, с учетом малости деформации:
или:
С другой стороны, согласно (206):
Сопоставляя это с предыдущим выражением, находим, что
Вспоминая, что , окончательно имеем:
(77)
Выражение (170) определяет искомую величину относительной деформации отрезка в направлении . Заметим, что эта величина зависит, согласно (170), только от направления исходного отрезка и не зависит от его длины. Это обстоятельство является следствием линейности описания деформации, которая, в свою очередь, обусловлена малостью деформаций.
4.2 Иллюстрация тензорной природы
.
Тензорная природа была нами установлена в section 1 на основании теоремы деления. Выражение (170) позволяет наглядно представить себе этот результат.
Введем новую систему координат так, что ее ось направлена вдоль заданного направления . Тогда в этой системе координат компонента выражается в соответствии со своим геометрическим смыслом согласно (170):
По определению вектора:
Но, очевидно, Поэтому:
Подставляя это выражение для , найдем, что:
Учитывая, что для декартовых систем координат:
окончательно получим:
Это выражение соответствует определению тензора (??). Используя (170) можно получить аналогичные выражения для других компонент.
Т.о. выражение (170) наглядным образом иллюстрирует тензорную природу . Заметим также, что (170) совпадает по форме с выражением (??) введенным для определения тензорной поверхности (chapter 1. Поэтому условие определяет тензорную поверхность для тенгзора деформаций.
Резюме section 4.
Относительная деформация (удлинение или сжатие отрезка) в заданном направлении выражается через тензор деформаций.
1). Величина относительной деформации зависит от направления отрезка, но не зависит от его длины. Последнее обстоятельство является следствием линейности малой деформации.
2). Относительная деформация выражается двойной сверткой тензора деформации с направлением отрезка. В этом проявляется тензорная природа .
5 Главные оси, главные значения инварианты тензора деформаций.
Тензор деформаций, как и всякий симметричный тензор 2-го ранга может быть приведен к каноническому (диагональному виду (см. section 4, chapter 1.
5.1 Главные оси и главные значения.
В главных осях --- в системе координат, оси которой совпадают с главными направлениями тензора, --- отличны от нуля только диагональные элементы тензора деформаций, равные его главным значениям. Приведение тензора деформаций к такому каноническому виду может быть осуществлено в любой точке, в которой задан тензор
Поскольку диагональные элементы тензора деформаций --- суть относительные растяжения и сжатия, возможность приведения тензора деформаций к диагональному виду означает, что любую произвольную деформацию в данной точке можно представить как суперпозицию исключительно растяжений и сжатий в трех взаимно-перпендикулярных направлениях. Причем относительные величины эь]тих расстяжений и сжатий являются главными значениями тензора деформаций, а соответствующие ортогональные направления --- главными направлениями. Главные значения тензора деформаций называют также главными деформациями.
Напрмним основные уравнения для определения главных значений и главных напряжений тензора деформаций.
В каждой точке среды главные значения находятся как решения векового уравнения:
(78)
Будем их обозначать как , , . В каждой точке среды главные направления определяются из системы уравнений:
(79)
(80)
Будем обозначать их как .
напомним также, что если два главных значения совпадают, то картина деформации (в этой точке) симметрична относительно оси, совпадающей с главным направлением, отвечающим третьему главному значению. Примером такой деформации служит рассмотренное в section 3 одноосное растяжениею
Если все три главных значения тензора совпадают, то (в этой точке) деформация по всем направлениям одинакова. Заметим также, что в этом случае сдвиговые недиагональные элементы тензора деформаций равны нулю в любой системе координат, и, следовательно, такая ситуация отвечает всестороннему расширению (или сжатию).
Относительная деформация в произвольном направлении в главных осях имеет вид (согласно (170)):
(81)