- •1 Глава 1. Тензоры в декартовых координатах.
- •1 Символ Кронекера и тензор Леви-Чивиты.
- •1.1 Символ кронекера.
- •1.2 Тензор Леви-Чивиты.
- •2 Дифференцирование и интегрирование тензоров.
- •2.1 Дифференциальные операции.
- •2.2 Теорема о дивергенции.
- •3 Приведение симметричного тензора 2-го ранга к каноническому виду.
- •3.1 Симметричные и антисимметричные тензоры.
- •3.2 Главные направления и главные значения тензора.
- •3.3 Приведение тензора к каноническому виду.
- •3.4 Тензорная поверхность.
- •2 Деформация.
- •1 Деформация и принцип ее описания.
- •1.1 Лагранжево и Эйлерово описание движения сплошной среды.
- •1.2 Тензор деформаций.
- •1.3 Ьалая деформация. Тензор Коши.
- •2 Теоретический смысл компонент тензора деформаций.
- •2.1 Изменение длины отрезков при деформации.
- •2.2 Изменение углов при деформации.
- •3 Разложение смещения на деформацию и вращение.
- •3.1 Разложение смещения.
- •3.2 Геометрический смысл компонент тензора
- •3.3 "Элементарные" деформации.
- •4 Относительная деформация в заданном направлении.
- •4.1 Выражение для относительной деформации в заданном направлении.
- •4.2 Иллюстрация тензорной природы
- •5 Главные оси, главные значения инварианты тензора деформаций.
- •5.1 Главные оси и главные значения.
- •5.2 Инварианты тензора деформаций.
- •5.3 Шаровой тензор и девиатор деформаций.
- •5.4 Дополнение. Иллюстрация: приведение тензора к каноническому виду.
- •6 Соотношения Сен-Венана (условия совместимости деформаций.
- •6.1 Зависимости деформаций водной плоскости.
- •6.2 Зависимости компонент деформации в разных плоскостях.
- •6.3 Соотношения Сен-Венена и непрерывность среды.
- •3 Напряжения.
- •1 Тензор напряжений.
- •1.1 Сплошность среды и принцип Коши.
- •1.2 Тензор напряжений.
- •1.3 Физический смысл компонент тензора напряжений.
- •1.4 Симметричность тензора напряжений.
- •2 Равновесие сплошной среды.
- •2.1 Уравнение равновесия.
- •2.2 Уравнение моментов.
- •2.3 Условие равновесия на поверхности тела.
- •2.4 Средние значения тензора напряжений.
- •3 Нормальные и касательные напряжения.
- •3.1 Разложение вектора напряжений.
- •3.2 Нормальные напряжения.
- •0.1 Касательные напряжения.
- •2 Главные направления, главные значения, инварианты тензора напряжений.
- •2.1 Приведение тензора напряжений к каноническому виду.
- •0.1 Максимальные нормальные напряжения.
- •0.2 Шаровой тензор и девиатор напряжений.
- •2 Особенные напряжения.
- •2.1 Максимальные касательные напряжения.
- •2.2 Октаэдрическая площадка.
- •4 Упругость.
- •5 Обобщенный закон Гука.
- •5.2 Обобщенный закон Гука.
- •6 Термодинамика деформирования.
- •6.1 Работа при деформации.
- •6.2 Основные термодинамические соотношения.
- •7 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •7.1 Свободная энергия упругой среды.
- •7.2 Свойства упругой свободной энергии.
- •7.3 Обобщенный закон Гука.
- •7.4 Потенциальная энергия упругой деформации.
- •8 Упругость с точки зрения термодинамики
- •9 Закон Гука для однородной и изотропной среды.
- •9.1 Однородность и изотропность.
- •9.2 Закон Гука в однородной изотропной среде.
- •10 Упругие модули
- •10.1 Модуль всестороннего сжатия.
- •11 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •11.1 Модуль сдвига.
- •11.2 Модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
- •11.3 Соотношения между модулями.
- •12 Деформация с изменением температуры.
- •12.1 Закон Гука.
- •12.2 Изотермические и адиабатические модули.
- •6 Уравнение движения упругой среды.
- •1 Уравнение движения.
- •2 Уравнение движения.
- •3 Уравнения движения упругой среды.
- •3.1 Уравнение движения однородной анизотропной упругой среды.
- •3.2 Уравнения движения однородной изотропной упругой среды.
- •3.3 Закон сохранения энергии при движении сплошной среды.
- •5 Теоремы единственности и взаимности.
- •5.1 Начальные и граничные условия к уравнению движения.
- •5.2 Теорема единственности.
- •5.3 Теорема Бетти(e.Betti).
- •6 Теорема единственности и взаимности.
- •7 Упругие волны.
- •1 Волновые уравнения для однородной изотропной упругой среды.
- •2 Решения волнового уравнения.
- •2.1 Монохроматические волны.
- •2.2 Сферические волны.
- •2.3 Плоские волны.
- •2.4 Плоские монохроматические волны.
- •3 Скорости упругих волн.
- •3.2 Общий принцип отыскания скоростей волн в сплошной среде.
- •4 Поляризация упругих волн.
- •4.1 Поляризация волн
- •4.2 Поляризация волны .
- •4.3 Геометрическая иллюстрация.
- •5 Энергия упругих волн.
- •5.1 Плотность энергии.
- •5.2 Поток энергии. Вектор Умова.
- •6 Отражение и преломление упругих волн.
- •6.1 Граничные условия.
- •6.2 Законотражения и преломления.
- •6.3 Отражение и преломление упругих волн.
- •7 Упругие волны в анизотропной однородной среды.
- •7.1 Уравнение дисперсии.
- •7.2 Свойства упругих волн в анизотропной среде.
- •8 Поверхностные волны.
- •8.1 Неоднородные плоские волны.
- •8.2 Поверхностная волна Релея (Rayleigh, 1885)
- •8.3 Поверхностная волна Лява
3 Напряжения.
В результате деформации в среде возникают силы, стремящиеся вернуть ее в исходное, недеформированное, состояние. Такое состояние среды называется напряженным состоянием.
Целью настоящей главы является разработка математического аппарата, позволяющего описывать напряженное состояние сплошной среды. Так же, как и в случае деформаций, мы должны ввести такой математический объект, который характеризовал бы напряженное состояние среды в каждой ее точке.
1 Тензор напряжений.
1.1 Сплошность среды и принцип Коши.
Рассмотрим природу сил, возникающих в результате деформации тела. До деформации молекулы находились в состоянии теплового равновесия. Деформация нарушает это состояние, поскольку при деформации изменяется взаимное расположение молекул. В теле возникают силы, стремящиеся вернуть его в равновесное состояние. Эти силы называются внутренними напряжениями.
Силы, возникающие при деформации, по своей природе --- есть силы взаимодействия между молекулами тела. Радиус их действия имеет порядок расстояния между молекулами и по порядку величины составляет
Mеханика сплошной среды является макроскопической теорией (что подчеркивается самим ее названием). Рассмотрение вещества как сплошной среды подразумевает абстрагирование от макроструктуры вещества. В рамках МСС рассмотрению подлежат только такие "элементы", размер которых значительно превосходит масштаб микроструктуры вещества и, следовательно, радиус межмолекулярного взаимодействия:
(101)
Априорное условие (202) можно назвать постулатом сплошности. Как следствие постулата сплошности, точкой сплошной среды следует считать минимальную область среды, размер которой удовлетворяет (202). Если при этом, характерный размер задачи (например размер тела) много больше размера точки :
то описание сплошной среды можно осуществить дифференциально.
Постулат сплошности (202) означает, что возникающие при деформации внутренние силы в рамках МСС действуют только на непосредственно близлежащие точки среды. Т.е. в масштабах описания сплошной среды радиус действия внутренних сил равен нулю. Отсюда следует, что силы, оказываемые на какую-либо часть тела со стороны окружающих ее частей, действуют только непосредственно через поверхность этой части. Поэтому внутренние силы, возникающие при деформации, называют поверхностными.
Это означает, что дествие одной части деформированного тела (части А) на другую его часть (часть В) эквивалентно приложению к каждой точке поверхности, отделяющей одну часть от другой (А от В) определенной силы.
Поверхностный характер внутренних сил находит свое математическое выражение в принципе Коши. Согласно этому принципу существует конечный предел отношения внутренних сил, приложенных к площадке, при стягивании этой площадки в точку:
(102)
Этот предел называют вектором напряжений и обозначают , где индекс определяется внешней нормалью к выбранной площадке.
Принцип Коши означает, что описание напряженного состояния среды заключается в том, что каждому элементу поверхности ставится в соответствие определенный вектор напряжений, имеющий смысл усилия (силы, действующей на единицу поверхности).
Поверхность задается вектором нормали к ней. Поэтому описание напряженного состояния сводится к заданию в каждой точке среды вектора как функции вектора ,т.е. к определению некоторой векторной функции. В главе 1 мы видели, что такая функция полностью определяется заданием соответствующего тензора второго ранга. Таким образом из принципа Коши следует, что для описания напряженного состояния среды необходимо ввести тензор второго ранга.
Замечание. Помимо поверхностных сил на точки тела могут, конечно , действовать и "обычные" внешние силы недеформационной природы: сила тяжести, сила инерции, магнитные силы и т.д. Эти силы, в отличии от поверхностных, действуют непосредственно на каждую точку данного объема среды --- на единицу массы --- и называютcя, поэтому, объемными, или массовыми силами.
Объемные силы не дают непосредственного вклада в вектор напряжений. Действительно, для объемных сил справедливо, очевидно;
Подставим это в принцип Коши:
Это означает, что объемные и поверхностные силы следует рассматривать как различные, независимые силы, действующие на элемент среды. Их взаимосвязь определяется только уравнениями равновесия (см. ?2).