- •1 Глава 1. Тензоры в декартовых координатах.
- •1 Символ Кронекера и тензор Леви-Чивиты.
- •1.1 Символ кронекера.
- •1.2 Тензор Леви-Чивиты.
- •2 Дифференцирование и интегрирование тензоров.
- •2.1 Дифференциальные операции.
- •2.2 Теорема о дивергенции.
- •3 Приведение симметричного тензора 2-го ранга к каноническому виду.
- •3.1 Симметричные и антисимметричные тензоры.
- •3.2 Главные направления и главные значения тензора.
- •3.3 Приведение тензора к каноническому виду.
- •3.4 Тензорная поверхность.
- •2 Деформация.
- •1 Деформация и принцип ее описания.
- •1.1 Лагранжево и Эйлерово описание движения сплошной среды.
- •1.2 Тензор деформаций.
- •1.3 Ьалая деформация. Тензор Коши.
- •2 Теоретический смысл компонент тензора деформаций.
- •2.1 Изменение длины отрезков при деформации.
- •2.2 Изменение углов при деформации.
- •3 Разложение смещения на деформацию и вращение.
- •3.1 Разложение смещения.
- •3.2 Геометрический смысл компонент тензора
- •3.3 "Элементарные" деформации.
- •4 Относительная деформация в заданном направлении.
- •4.1 Выражение для относительной деформации в заданном направлении.
- •4.2 Иллюстрация тензорной природы
- •5 Главные оси, главные значения инварианты тензора деформаций.
- •5.1 Главные оси и главные значения.
- •5.2 Инварианты тензора деформаций.
- •5.3 Шаровой тензор и девиатор деформаций.
- •5.4 Дополнение. Иллюстрация: приведение тензора к каноническому виду.
- •6 Соотношения Сен-Венана (условия совместимости деформаций.
- •6.1 Зависимости деформаций водной плоскости.
- •6.2 Зависимости компонент деформации в разных плоскостях.
- •6.3 Соотношения Сен-Венена и непрерывность среды.
- •3 Напряжения.
- •1 Тензор напряжений.
- •1.1 Сплошность среды и принцип Коши.
- •1.2 Тензор напряжений.
- •1.3 Физический смысл компонент тензора напряжений.
- •1.4 Симметричность тензора напряжений.
- •2 Равновесие сплошной среды.
- •2.1 Уравнение равновесия.
- •2.2 Уравнение моментов.
- •2.3 Условие равновесия на поверхности тела.
- •2.4 Средние значения тензора напряжений.
- •3 Нормальные и касательные напряжения.
- •3.1 Разложение вектора напряжений.
- •3.2 Нормальные напряжения.
- •0.1 Касательные напряжения.
- •2 Главные направления, главные значения, инварианты тензора напряжений.
- •2.1 Приведение тензора напряжений к каноническому виду.
- •0.1 Максимальные нормальные напряжения.
- •0.2 Шаровой тензор и девиатор напряжений.
- •2 Особенные напряжения.
- •2.1 Максимальные касательные напряжения.
- •2.2 Октаэдрическая площадка.
- •4 Упругость.
- •5 Обобщенный закон Гука.
- •5.2 Обобщенный закон Гука.
- •6 Термодинамика деформирования.
- •6.1 Работа при деформации.
- •6.2 Основные термодинамические соотношения.
- •7 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •7.1 Свободная энергия упругой среды.
- •7.2 Свойства упругой свободной энергии.
- •7.3 Обобщенный закон Гука.
- •7.4 Потенциальная энергия упругой деформации.
- •8 Упругость с точки зрения термодинамики
- •9 Закон Гука для однородной и изотропной среды.
- •9.1 Однородность и изотропность.
- •9.2 Закон Гука в однородной изотропной среде.
- •10 Упругие модули
- •10.1 Модуль всестороннего сжатия.
- •11 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •11.1 Модуль сдвига.
- •11.2 Модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
- •11.3 Соотношения между модулями.
- •12 Деформация с изменением температуры.
- •12.1 Закон Гука.
- •12.2 Изотермические и адиабатические модули.
- •6 Уравнение движения упругой среды.
- •1 Уравнение движения.
- •2 Уравнение движения.
- •3 Уравнения движения упругой среды.
- •3.1 Уравнение движения однородной анизотропной упругой среды.
- •3.2 Уравнения движения однородной изотропной упругой среды.
- •3.3 Закон сохранения энергии при движении сплошной среды.
- •5 Теоремы единственности и взаимности.
- •5.1 Начальные и граничные условия к уравнению движения.
- •5.2 Теорема единственности.
- •5.3 Теорема Бетти(e.Betti).
- •6 Теорема единственности и взаимности.
- •7 Упругие волны.
- •1 Волновые уравнения для однородной изотропной упругой среды.
- •2 Решения волнового уравнения.
- •2.1 Монохроматические волны.
- •2.2 Сферические волны.
- •2.3 Плоские волны.
- •2.4 Плоские монохроматические волны.
- •3 Скорости упругих волн.
- •3.2 Общий принцип отыскания скоростей волн в сплошной среде.
- •4 Поляризация упругих волн.
- •4.1 Поляризация волн
- •4.2 Поляризация волны .
- •4.3 Геометрическая иллюстрация.
- •5 Энергия упругих волн.
- •5.1 Плотность энергии.
- •5.2 Поток энергии. Вектор Умова.
- •6 Отражение и преломление упругих волн.
- •6.1 Граничные условия.
- •6.2 Законотражения и преломления.
- •6.3 Отражение и преломление упругих волн.
- •7 Упругие волны в анизотропной однородной среды.
- •7.1 Уравнение дисперсии.
- •7.2 Свойства упругих волн в анизотропной среде.
- •8 Поверхностные волны.
- •8.1 Неоднородные плоские волны.
- •8.2 Поверхностная волна Релея (Rayleigh, 1885)
- •8.3 Поверхностная волна Лява
1 Символ Кронекера и тензор Леви-Чивиты.
Рассмотрим два тензора специального вида, имеющих широкое применение в механике сплошной среды.
1.1 Символ кронекера.
По определению символ Кронекера:
а). Свертка с вектором:
т.е.
(13)
Согласно теореме деления, выражение (213) свидетельствует о том, что --- тензор второго ранга.
б). Свертка с двумя векторами:
(14)
Из (191) следует, что
1.2 Тензор Леви-Чивиты.
По определению:
(15)
Определение (194) эквивалентно следующему определению:
и меняет знак при перестановке любой пары индексов.
Если число перестановок в последовательности 1 2 3 --- четно, то соответствующее значение , если нечетно, то . Если два индекса совпадают, то соответствующие компоненты тензора Леви-Чивиты равны нулю.
а). Свертка с двумя векторами.
(16)
--- векторное произведение:
Из (138) при будем иметь:
Аналогично для и . Из (138) следует, что
Замечание. Выражение (138) свидетельствует о том, что --- тензор 3 - го ранга. Действительно:
--- тензор 2-го ранга, а b]_i --- вектор. Следовательно, согласно теореме деления, --- 3 -го ранга. б). Перестановочные свойства тензора Леви-Чивиты.
или:
в).Произведения и свертки тензора Леви-Чивиты.
Можно проверить, что
(17)
(18)
(19)
(20)
Резюме section 2.
Введены два тензора специального вида и рассмотрены их свойства. 1.Символ Кронекера --- единичный тензор 2-го ранга. Может рассматриваться как оператор скалярного произведения векторов. 2. Тензор Леви-Чивиты --- единичный тензор 3-го ранга антисимметричный по всем индексам. Может рассматриваться как оператор векторного произведения векторов.
2 Дифференцирование и интегрирование тензоров.
Тензорные величины могут зависеть от координат, т.е. их компоненты могут быть функциями , , и , а также и времени. Поэтому следует рассмотреть вопрос дифференцирования и интегрирования тензоров.
Применение к тензорам операций дифференцирования или интегрирования сводится к применению этих операций к компонентам тензоров.
2.1 Дифференциальные операции.
а). Скалярная функция
С учетом соглашения о суммировании:
Введем еще одну форму записи: будем обозначать дифференцирование по через запятую:
Тогда:
(21)
Рассмотрим теиерь векторные дифференциальные операторы:
б).
или:
(22)
заметим, что оператор: в).
г).
или, с учетом (138):
(23)
д).
или
(24)
Выражение (216) --- (199) можно использовать для обобщения векторных дифференциальных операций н аслучай тензоров ранга выше 1-го:
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
и т.д. е). Дифференцирование скалярного и векторного произведений.
т.е.
(30)
(31)
и так: