- •1 Глава 1. Тензоры в декартовых координатах.
- •1 Символ Кронекера и тензор Леви-Чивиты.
- •1.1 Символ кронекера.
- •1.2 Тензор Леви-Чивиты.
- •2 Дифференцирование и интегрирование тензоров.
- •2.1 Дифференциальные операции.
- •2.2 Теорема о дивергенции.
- •3 Приведение симметричного тензора 2-го ранга к каноническому виду.
- •3.1 Симметричные и антисимметричные тензоры.
- •3.2 Главные направления и главные значения тензора.
- •3.3 Приведение тензора к каноническому виду.
- •3.4 Тензорная поверхность.
- •2 Деформация.
- •1 Деформация и принцип ее описания.
- •1.1 Лагранжево и Эйлерово описание движения сплошной среды.
- •1.2 Тензор деформаций.
- •1.3 Ьалая деформация. Тензор Коши.
- •2 Теоретический смысл компонент тензора деформаций.
- •2.1 Изменение длины отрезков при деформации.
- •2.2 Изменение углов при деформации.
- •3 Разложение смещения на деформацию и вращение.
- •3.1 Разложение смещения.
- •3.2 Геометрический смысл компонент тензора
- •3.3 "Элементарные" деформации.
- •4 Относительная деформация в заданном направлении.
- •4.1 Выражение для относительной деформации в заданном направлении.
- •4.2 Иллюстрация тензорной природы
- •5 Главные оси, главные значения инварианты тензора деформаций.
- •5.1 Главные оси и главные значения.
- •5.2 Инварианты тензора деформаций.
- •5.3 Шаровой тензор и девиатор деформаций.
- •5.4 Дополнение. Иллюстрация: приведение тензора к каноническому виду.
- •6 Соотношения Сен-Венана (условия совместимости деформаций.
- •6.1 Зависимости деформаций водной плоскости.
- •6.2 Зависимости компонент деформации в разных плоскостях.
- •6.3 Соотношения Сен-Венена и непрерывность среды.
- •3 Напряжения.
- •1 Тензор напряжений.
- •1.1 Сплошность среды и принцип Коши.
- •1.2 Тензор напряжений.
- •1.3 Физический смысл компонент тензора напряжений.
- •1.4 Симметричность тензора напряжений.
- •2 Равновесие сплошной среды.
- •2.1 Уравнение равновесия.
- •2.2 Уравнение моментов.
- •2.3 Условие равновесия на поверхности тела.
- •2.4 Средние значения тензора напряжений.
- •3 Нормальные и касательные напряжения.
- •3.1 Разложение вектора напряжений.
- •3.2 Нормальные напряжения.
- •0.1 Касательные напряжения.
- •2 Главные направления, главные значения, инварианты тензора напряжений.
- •2.1 Приведение тензора напряжений к каноническому виду.
- •0.1 Максимальные нормальные напряжения.
- •0.2 Шаровой тензор и девиатор напряжений.
- •2 Особенные напряжения.
- •2.1 Максимальные касательные напряжения.
- •2.2 Октаэдрическая площадка.
- •4 Упругость.
- •5 Обобщенный закон Гука.
- •5.2 Обобщенный закон Гука.
- •6 Термодинамика деформирования.
- •6.1 Работа при деформации.
- •6.2 Основные термодинамические соотношения.
- •7 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •7.1 Свободная энергия упругой среды.
- •7.2 Свойства упругой свободной энергии.
- •7.3 Обобщенный закон Гука.
- •7.4 Потенциальная энергия упругой деформации.
- •8 Упругость с точки зрения термодинамики
- •9 Закон Гука для однородной и изотропной среды.
- •9.1 Однородность и изотропность.
- •9.2 Закон Гука в однородной изотропной среде.
- •10 Упругие модули
- •10.1 Модуль всестороннего сжатия.
- •11 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •11.1 Модуль сдвига.
- •11.2 Модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
- •11.3 Соотношения между модулями.
- •12 Деформация с изменением температуры.
- •12.1 Закон Гука.
- •12.2 Изотермические и адиабатические модули.
- •6 Уравнение движения упругой среды.
- •1 Уравнение движения.
- •2 Уравнение движения.
- •3 Уравнения движения упругой среды.
- •3.1 Уравнение движения однородной анизотропной упругой среды.
- •3.2 Уравнения движения однородной изотропной упругой среды.
- •3.3 Закон сохранения энергии при движении сплошной среды.
- •5 Теоремы единственности и взаимности.
- •5.1 Начальные и граничные условия к уравнению движения.
- •5.2 Теорема единственности.
- •5.3 Теорема Бетти(e.Betti).
- •6 Теорема единственности и взаимности.
- •7 Упругие волны.
- •1 Волновые уравнения для однородной изотропной упругой среды.
- •2 Решения волнового уравнения.
- •2.1 Монохроматические волны.
- •2.2 Сферические волны.
- •2.3 Плоские волны.
- •2.4 Плоские монохроматические волны.
- •3 Скорости упругих волн.
- •3.2 Общий принцип отыскания скоростей волн в сплошной среде.
- •4 Поляризация упругих волн.
- •4.1 Поляризация волн
- •4.2 Поляризация волны .
- •4.3 Геометрическая иллюстрация.
- •5 Энергия упругих волн.
- •5.1 Плотность энергии.
- •5.2 Поток энергии. Вектор Умова.
- •6 Отражение и преломление упругих волн.
- •6.1 Граничные условия.
- •6.2 Законотражения и преломления.
- •6.3 Отражение и преломление упругих волн.
- •7 Упругие волны в анизотропной однородной среды.
- •7.1 Уравнение дисперсии.
- •7.2 Свойства упругих волн в анизотропной среде.
- •8 Поверхностные волны.
- •8.1 Неоднородные плоские волны.
- •8.2 Поверхностная волна Релея (Rayleigh, 1885)
- •8.3 Поверхностная волна Лява
7 Упругие волны.
Деформации, рассматриваемые в рамках этого курса, предполагаются малыми. Это означает, что движения сплошной среды могут иметь только колебательный характер. Распространение колебаний в пространстве называется волнами. Поэтому движения в сплошной среде в случае малых деформаций представляют собой малые колебания и волны.
1 Волновые уравнения для однородной изотропной упругой среды.
Рассмотрим уравнение Ламе в форме (??), заменив в нем объемную плотность внешних сил их массовой плотностью , учитывая, что (см. (??).
Применим к этому уравнению операцию , учитывая, что :
Введем обозначение и учтем, что . Тогда:
(202)
Применяя к уравнению Ламе операцию и учитывая, что , получим:
Введем обозначение: . Тогда:
(203)
Уравнения (202) и (203), полученные из уравнения Ламе, являются неоднородными волновыми уравнениями. Эти волновые уравнения можно записать в другой форме.
Из векторного анализа известно, что любой вектор можно представить как сумму потенциального и соленоидального векторов. Напомним, что ротор потенциального вектора и дивергенция соленоидального вектора равны нулю. Разложим векторыы смещений и массовой силы таким образом:
(204)
(205)
Подставляя эти разложения в (202), получим:
Но в силу (205)
Из векторного анализа известно, что если во всем пространстве , то . Следовательно:
(206)
Аналогично получим:
(207)
Разложение (205) означает, что векторы и можно представить через потенциалы:
(208)
(209)
(210)
Потенциалы и называют скалярными, а и --- векторными. Поскольку скалярный и векторный потенциалы --- это четыре функции, а определяют они только три компоненты смещения, на потенциалы следует наложить дополнительное условие. Обычно полагают, что и . В этом случае
Подставляя (209) в (206) и (207), можно получить волновые уравнения для потенциалов:
(211)
и
(212)
Три пары волновых уравнений (202) --- (203), (206) --- (207) и (211) --- (212) получены как следствие уравнения Ламе --- уравнения движения однородной изотропной упругой среды. Это означает, что в такой среде могут распространяться волны, описываемые перечисленными волновыми уравнениями. Эти волны распространяются во всем объеме упругой среды и называются поэтому объемными волнами.
Волна ---это распространение колебаний в пространстве. А колебательное движение возникает в системе в том случае, когда имеется сила, стремящаяся возвратить выведенную из равновесия систему в ее исходное состояние. Противодействие этой силы и инерционности системы и обеспечивает колебательный процесс. Возвращающей силой в нашем случае являются упругие напряжения. Поэтому малые колебания и волны, возникающие благодаря им, называются упругими колебаниями и волнами.
Разложение (205) вектора смещения в упругой волне на два компонента соответствует разложению произвольной деформации на деформацию изменения объема и деформацию изменения формы элемента среды ( (??). Действительно, смещения отвечают изменению только формы, поскольку согласно (205). Смещения отвечают деформации изменения объема. В соответствии с этим уравнения (202), (206) и (??) описывают волну изменения объема элементов среды, а уравнения (203), (207) и (212) --- волну тскажения формы (волну формоизменения). Первые волны называются также безвихревыми, а вторые --- эквиволюминальными ( от volume ---объем).
Упругие волны могут возбуждаться действием массовых сил и усилий или смещений на поверхности среды. Вопрос о возбуждении упругих волн требует специального рассмотрения. Поэтому пока, для выяснения свойств упругих волн, будем считать, что в среде существует возмущение, пораждающее волну, не вдаваясь в подробности этого возмущения. Будем также считать, что массовые силы отсутствуют, т.е. в волновых уравнениях положим . Тем самым мы будем рассматривать свободные волны.
Резюме section 1.
В однородной изотропной упругой среде могут распространяться волны двух типов: волны изменения объема и волны формоизменения. Формирование этих волн обусловлено противодействием упругих сил и инерционности среды, поэтому указанные волны называются упругими. Упругие волны распространяются во всем объеме среды, в следствие чего их еще называют объемными.