10 Упругие модули

.

Упругая однородная изотропная среда при малых деформациях характеризуется, как мы видели, только двумя модулями упругости. Мы ввели в рассмотрение параметры ЛАМЭ и . Однако, во многих случаях удобнее в качестве модулей упругости использовать определенные комбинации и , отвечающие физической сути рассматриваемых конкретных задач.

Рассмотрим некоторые случаи однородных напряженно-деформированных состояний среды и связанные с ними модули упругости.

10.1 Модуль всестороннего сжатия.

Рассмотрим деформацию однородного всестороннего сжатия (или расширения). При такой деформации форма тела сохраняется, а изменяется только его объем. Описывается такая деформация и вызванные ею напряжения шаровыми тензорами деформации и напряжения (см. (??) и (??)).

Найдем связь между и . Согласно (170):

или

где

(172)

Модуль называется модулем всестороннего сжатия. Поскольку , а , давление равно:

Следовательно модуль характеризует сопротивление / материала изменению объема при деформации.

Из термодинамических соображений следует, что . Свободная упругая энергия однородной изотропной среды с учетом (222) равна:

(173)

Заметим, что это можно переписать как:

(174)

где и --- шаровой тензор и девиатор деформаций.

С учетом положительной определенности свободной энергии (см.

11 Упругость с точки зрения термодинамики.

), из (223) следует, что модули b --- положительны. Действительно, задавая деформацию так, что находим:

Поэтому . Аналогичным образом, задавая такую деформацию, что , получим, что .

11.1 Модуль сдвига.

Рассмотрим деформацию чистого сдвига в плоскости (см.??). В этом случае отличны от нуля только . Согласно закону Гука (170) в этом случае:

остальные . Следовательно, модуль связывает касательные напряжения и сдвиговые деформации, характеризуя тем самым сопротивление материала чистому сдвигу. Модуль называется модулем сдвига. В предыдущем пункте мы видели, что согласно требованиям термодинамики:

Легко показать, что девиаторов напряжений и деформаций в общем случае справедливо соотношение:

Девиатор деформаций описывает изменение формы эелемента среды при деформации. Поэтому модуль характеризует так же сопротивление материала изменению его формы. Заметим, что поскольку жидкости не создают сопротивления изменению формы, для жидких сред .

Поскольку способность тел сохранять форму ассоуиируется с их жесткостью, модуль называют жесткостью.

11.2 Модуль Юнга и коэффициент Пуассона.

Рассмотрим однородную деформацию, вызванную одноосной нагрузкой вдоль оси .

Поскольку деформация однородна, напряженное состояние тоже однородно и можно определить непосредственно из граничных условий (??):

Отсюда сразу получаем:

и , ,

Определим деформации.

Согласно (216) для сдвиговых компонент имеем:

Для остальных компонент получаем систему:

(175)

(176)

(177)

Решение этой системы имеет вид:

(178)

(179)

Введем модуль E:

(180)

Модуль называется модулем Юнга.

Впервые понятие модуля упругости как константы материала, не зависящей от размеров образца и плотности тела, введено Кулоном в 1784г. при измерении модуля сдвига по кручению проволоки. Томасом Юнгом в его "Курсе лекций по натуральной философии и искусству механики" (1807г.) определено понятие "высоты" и "веса" модуля упругости, являющихся по сути дела коэффициентами упругости, которые зависят от геометрии образца.

Из (224) в таком случае имеем:

Таким образом, модуль Юнга характеризует сопротивление материала одноосному растяжению . Учитывая (222), выражение (225) можно переписать как:

Поскольку всегда и , модуль Юнга тоже положителен: .

Из выражения (224) следует, что при одноосном растяжении упругого материала происходит его деформация в поперечном направлении. отношение поперечного сжатия к продольному удлинению называют коэффициентом Пуассона и обозначают как или . Из (224):

(181)

Учитывая выражение (222), выражение (226) можно переписать как:

Поскольку и , в соответствии с требованиями термодинамики коэффициент Пуассона может изменяться в пределах:

Но фактически, для всех известных в настоящее время веществ, коэффициент Пуассона положителен. Это в свою очередь означает, что , и, следовательно, параметр .

Выражение (226) можно переписать как

Следовательно при и при .

В случае справедливости гипотезы Пуассона, при .