- •1 Глава 1. Тензоры в декартовых координатах.
- •1 Символ Кронекера и тензор Леви-Чивиты.
- •1.1 Символ кронекера.
- •1.2 Тензор Леви-Чивиты.
- •2 Дифференцирование и интегрирование тензоров.
- •2.1 Дифференциальные операции.
- •2.2 Теорема о дивергенции.
- •3 Приведение симметричного тензора 2-го ранга к каноническому виду.
- •3.1 Симметричные и антисимметричные тензоры.
- •3.2 Главные направления и главные значения тензора.
- •3.3 Приведение тензора к каноническому виду.
- •3.4 Тензорная поверхность.
- •2 Деформация.
- •1 Деформация и принцип ее описания.
- •1.1 Лагранжево и Эйлерово описание движения сплошной среды.
- •1.2 Тензор деформаций.
- •1.3 Ьалая деформация. Тензор Коши.
- •2 Теоретический смысл компонент тензора деформаций.
- •2.1 Изменение длины отрезков при деформации.
- •2.2 Изменение углов при деформации.
- •3 Разложение смещения на деформацию и вращение.
- •3.1 Разложение смещения.
- •3.2 Геометрический смысл компонент тензора
- •3.3 "Элементарные" деформации.
- •4 Относительная деформация в заданном направлении.
- •4.1 Выражение для относительной деформации в заданном направлении.
- •4.2 Иллюстрация тензорной природы
- •5 Главные оси, главные значения инварианты тензора деформаций.
- •5.1 Главные оси и главные значения.
- •5.2 Инварианты тензора деформаций.
- •5.3 Шаровой тензор и девиатор деформаций.
- •5.4 Дополнение. Иллюстрация: приведение тензора к каноническому виду.
- •6 Соотношения Сен-Венана (условия совместимости деформаций.
- •6.1 Зависимости деформаций водной плоскости.
- •6.2 Зависимости компонент деформации в разных плоскостях.
- •6.3 Соотношения Сен-Венена и непрерывность среды.
- •3 Напряжения.
- •1 Тензор напряжений.
- •1.1 Сплошность среды и принцип Коши.
- •1.2 Тензор напряжений.
- •1.3 Физический смысл компонент тензора напряжений.
- •1.4 Симметричность тензора напряжений.
- •2 Равновесие сплошной среды.
- •2.1 Уравнение равновесия.
- •2.2 Уравнение моментов.
- •2.3 Условие равновесия на поверхности тела.
- •2.4 Средние значения тензора напряжений.
- •3 Нормальные и касательные напряжения.
- •3.1 Разложение вектора напряжений.
- •3.2 Нормальные напряжения.
- •0.1 Касательные напряжения.
- •2 Главные направления, главные значения, инварианты тензора напряжений.
- •2.1 Приведение тензора напряжений к каноническому виду.
- •0.1 Максимальные нормальные напряжения.
- •0.2 Шаровой тензор и девиатор напряжений.
- •2 Особенные напряжения.
- •2.1 Максимальные касательные напряжения.
- •2.2 Октаэдрическая площадка.
- •4 Упругость.
- •5 Обобщенный закон Гука.
- •5.2 Обобщенный закон Гука.
- •6 Термодинамика деформирования.
- •6.1 Работа при деформации.
- •6.2 Основные термодинамические соотношения.
- •7 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •7.1 Свободная энергия упругой среды.
- •7.2 Свойства упругой свободной энергии.
- •7.3 Обобщенный закон Гука.
- •7.4 Потенциальная энергия упругой деформации.
- •8 Упругость с точки зрения термодинамики
- •9 Закон Гука для однородной и изотропной среды.
- •9.1 Однородность и изотропность.
- •9.2 Закон Гука в однородной изотропной среде.
- •10 Упругие модули
- •10.1 Модуль всестороннего сжатия.
- •11 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •11.1 Модуль сдвига.
- •11.2 Модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
- •11.3 Соотношения между модулями.
- •12 Деформация с изменением температуры.
- •12.1 Закон Гука.
- •12.2 Изотермические и адиабатические модули.
- •6 Уравнение движения упругой среды.
- •1 Уравнение движения.
- •2 Уравнение движения.
- •3 Уравнения движения упругой среды.
- •3.1 Уравнение движения однородной анизотропной упругой среды.
- •3.2 Уравнения движения однородной изотропной упругой среды.
- •3.3 Закон сохранения энергии при движении сплошной среды.
- •5 Теоремы единственности и взаимности.
- •5.1 Начальные и граничные условия к уравнению движения.
- •5.2 Теорема единственности.
- •5.3 Теорема Бетти(e.Betti).
- •6 Теорема единственности и взаимности.
- •7 Упругие волны.
- •1 Волновые уравнения для однородной изотропной упругой среды.
- •2 Решения волнового уравнения.
- •2.1 Монохроматические волны.
- •2.2 Сферические волны.
- •2.3 Плоские волны.
- •2.4 Плоские монохроматические волны.
- •3 Скорости упругих волн.
- •3.2 Общий принцип отыскания скоростей волн в сплошной среде.
- •4 Поляризация упругих волн.
- •4.1 Поляризация волн
- •4.2 Поляризация волны .
- •4.3 Геометрическая иллюстрация.
- •5 Энергия упругих волн.
- •5.1 Плотность энергии.
- •5.2 Поток энергии. Вектор Умова.
- •6 Отражение и преломление упругих волн.
- •6.1 Граничные условия.
- •6.2 Законотражения и преломления.
- •6.3 Отражение и преломление упругих волн.
- •7 Упругие волны в анизотропной однородной среды.
- •7.1 Уравнение дисперсии.
- •7.2 Свойства упругих волн в анизотропной среде.
- •8 Поверхностные волны.
- •8.1 Неоднородные плоские волны.
- •8.2 Поверхностная волна Релея (Rayleigh, 1885)
- •8.3 Поверхностная волна Лява
1.3 Ьалая деформация. Тензор Коши.
Малой называется деформация, при которой изменение расстояния между точками среды мало по сравнению с самим расстоянием:
(60)
или
Рассмотрим тензор деформаций в случае малой деформации. Деформация, как мы видели в subsection 2, характеризуется градиентами смещений . Поэтому малость деформаций означает и малость .
Действительно, положим , . Для имеем:
Отсюда для имеем оценку:
Следовательно, согласно (209)
Малость градиентов смещений позволяет в выражении (207) для тензора деформаций Лагранжа-Грина пренебречь квадратичными членами. Поэтому, в случае малой деформации тензор деформаций имеет вид:
(61)
Этот тензор называется тензором деформаций Коши, а выражения (211) иногда называют уравнениями Коши (см. section 6).
Замечание. В случае малой деформации Эйлерово и Лагранжево описания деформации среды совпадают. В выражениях для тензора деформаций Лагранжа и Эйлера квадратичными членами можно пренебречь, а .
Действительно:
Следовательно, в силу малых деформаций тензопы Лагранжа и Эйлера совпадают между собой и равны тензору Коши.
В подавляющем числе случаев основных, интересующих нас, приложений динамической теории упругости деформация является малой. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только малые деформации.
Заметим, что в случае деформации трехмерного тела, все размеры которого в различных направлениях соизмеримы, малость деформации означает также и малость смещений. Очевидно, что такое тело не может быть деформировано так, чтобы отдельные его члены сильно переместились в пространстве, без возникновения в теле сильных растяжений и сжатий.
Иначе обстоит дело при деформации тел, один из размеров которого сильно отличается от других. Например при изгибе тонкого стержня, его концы могут значительно сместиться даже при малой деформации. В своем рассмотрении мы не будем касаться таких случаев.
Резюме section 1.
В этом параграфе введено понятие деформации и определен математический аппарат для ее описания.
1) В качестве подхода к описанию движения (деформации) сплошной среды выбран Лагранжев подход, согласно которому движение среды описывается изменением координат точек (частиц) среды.
2) Деформация в каждой точке среды характеризуется тензорной величиной, описывающей изменение положения точек бесконечно малой окрестности выбранной точки относительно этой точки.
3) Компоненты тензора деформаций выражаются через градиенты вектора смещения точки в результате деформации.
4) Введено понятие малой деформации. В случае малой деформации компоненты тензора деформаций являются линейными функциями градиентлв смещений.
2 Теоретический смысл компонент тензора деформаций.
Деформация отвечает трансформации геометрического объекта --- множества точек. Поэтому компонентам тензора, описывающего деформацию, можно придать геометрическое толкование. Выяснение геометрического смысла компонент тензора деформаций делает этот абстрактный математический объект более наглядным.