- •1 Глава 1. Тензоры в декартовых координатах.
- •1 Символ Кронекера и тензор Леви-Чивиты.
- •1.1 Символ кронекера.
- •1.2 Тензор Леви-Чивиты.
- •2 Дифференцирование и интегрирование тензоров.
- •2.1 Дифференциальные операции.
- •2.2 Теорема о дивергенции.
- •3 Приведение симметричного тензора 2-го ранга к каноническому виду.
- •3.1 Симметричные и антисимметричные тензоры.
- •3.2 Главные направления и главные значения тензора.
- •3.3 Приведение тензора к каноническому виду.
- •3.4 Тензорная поверхность.
- •2 Деформация.
- •1 Деформация и принцип ее описания.
- •1.1 Лагранжево и Эйлерово описание движения сплошной среды.
- •1.2 Тензор деформаций.
- •1.3 Ьалая деформация. Тензор Коши.
- •2 Теоретический смысл компонент тензора деформаций.
- •2.1 Изменение длины отрезков при деформации.
- •2.2 Изменение углов при деформации.
- •3 Разложение смещения на деформацию и вращение.
- •3.1 Разложение смещения.
- •3.2 Геометрический смысл компонент тензора
- •3.3 "Элементарные" деформации.
- •4 Относительная деформация в заданном направлении.
- •4.1 Выражение для относительной деформации в заданном направлении.
- •4.2 Иллюстрация тензорной природы
- •5 Главные оси, главные значения инварианты тензора деформаций.
- •5.1 Главные оси и главные значения.
- •5.2 Инварианты тензора деформаций.
- •5.3 Шаровой тензор и девиатор деформаций.
- •5.4 Дополнение. Иллюстрация: приведение тензора к каноническому виду.
- •6 Соотношения Сен-Венана (условия совместимости деформаций.
- •6.1 Зависимости деформаций водной плоскости.
- •6.2 Зависимости компонент деформации в разных плоскостях.
- •6.3 Соотношения Сен-Венена и непрерывность среды.
- •3 Напряжения.
- •1 Тензор напряжений.
- •1.1 Сплошность среды и принцип Коши.
- •1.2 Тензор напряжений.
- •1.3 Физический смысл компонент тензора напряжений.
- •1.4 Симметричность тензора напряжений.
- •2 Равновесие сплошной среды.
- •2.1 Уравнение равновесия.
- •2.2 Уравнение моментов.
- •2.3 Условие равновесия на поверхности тела.
- •2.4 Средние значения тензора напряжений.
- •3 Нормальные и касательные напряжения.
- •3.1 Разложение вектора напряжений.
- •3.2 Нормальные напряжения.
- •0.1 Касательные напряжения.
- •2 Главные направления, главные значения, инварианты тензора напряжений.
- •2.1 Приведение тензора напряжений к каноническому виду.
- •0.1 Максимальные нормальные напряжения.
- •0.2 Шаровой тензор и девиатор напряжений.
- •2 Особенные напряжения.
- •2.1 Максимальные касательные напряжения.
- •2.2 Октаэдрическая площадка.
- •4 Упругость.
- •5 Обобщенный закон Гука.
- •5.2 Обобщенный закон Гука.
- •6 Термодинамика деформирования.
- •6.1 Работа при деформации.
- •6.2 Основные термодинамические соотношения.
- •7 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •7.1 Свободная энергия упругой среды.
- •7.2 Свойства упругой свободной энергии.
- •7.3 Обобщенный закон Гука.
- •7.4 Потенциальная энергия упругой деформации.
- •8 Упругость с точки зрения термодинамики
- •9 Закон Гука для однородной и изотропной среды.
- •9.1 Однородность и изотропность.
- •9.2 Закон Гука в однородной изотропной среде.
- •10 Упругие модули
- •10.1 Модуль всестороннего сжатия.
- •11 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •11.1 Модуль сдвига.
- •11.2 Модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
- •11.3 Соотношения между модулями.
- •12 Деформация с изменением температуры.
- •12.1 Закон Гука.
- •12.2 Изотермические и адиабатические модули.
- •6 Уравнение движения упругой среды.
- •1 Уравнение движения.
- •2 Уравнение движения.
- •3 Уравнения движения упругой среды.
- •3.1 Уравнение движения однородной анизотропной упругой среды.
- •3.2 Уравнения движения однородной изотропной упругой среды.
- •3.3 Закон сохранения энергии при движении сплошной среды.
- •5 Теоремы единственности и взаимности.
- •5.1 Начальные и граничные условия к уравнению движения.
- •5.2 Теорема единственности.
- •5.3 Теорема Бетти(e.Betti).
- •6 Теорема единственности и взаимности.
- •7 Упругие волны.
- •1 Волновые уравнения для однородной изотропной упругой среды.
- •2 Решения волнового уравнения.
- •2.1 Монохроматические волны.
- •2.2 Сферические волны.
- •2.3 Плоские волны.
- •2.4 Плоские монохроматические волны.
- •3 Скорости упругих волн.
- •3.2 Общий принцип отыскания скоростей волн в сплошной среде.
- •4 Поляризация упругих волн.
- •4.1 Поляризация волн
- •4.2 Поляризация волны .
- •4.3 Геометрическая иллюстрация.
- •5 Энергия упругих волн.
- •5.1 Плотность энергии.
- •5.2 Поток энергии. Вектор Умова.
- •6 Отражение и преломление упругих волн.
- •6.1 Граничные условия.
- •6.2 Законотражения и преломления.
- •6.3 Отражение и преломление упругих волн.
- •7 Упругие волны в анизотропной однородной среды.
- •7.1 Уравнение дисперсии.
- •7.2 Свойства упругих волн в анизотропной среде.
- •8 Поверхностные волны.
- •8.1 Неоднородные плоские волны.
- •8.2 Поверхностная волна Релея (Rayleigh, 1885)
- •8.3 Поверхностная волна Лява
5.3 Теорема Бетти(e.Betti).
Пусть --- решение уравнения движения однородной упругой среды с массовыми силами и усилиями на ее границе , а --- решение того же уравнения движения, но с другими массовыми силами и усилиями . начальные условия для и --- поизвольные, но считаются заданными.
Тогда справедливо соотношение:
(201)
Доказательство.
Преобразуем левую часть (201), подставив в нее уравнение движения (202) и условие равновесия на поверхности (??)
Аналогичным образом, для правой части (201) найдем:
Сопоставляя выражения для левой и правой частей и учитывая симметричность тензора модулей упругости: , приходим к заключению, что (201) является тождеством. Тем самым теорема Бетти доказана.
Теорема взаимности Бетти связывает между собой решения уравнения движения однородной упругой среды, полученные при различных внешних силах. тем самым она открывает возможность использовать известные решения при достаточно простых условиях для отыскания решения при заданных, обычно более сложных силах. Так, в частности, при силах, заданных в виде --- функции, легко получить решение уравнения движения, называемое функцией Грина. Теорема Бетти позволяет представить решение уравнения движения при произвольных условиях в виде свертки этих условий и функции Грина. Такой метод лежит, в частности, в основе описания источника упругих волн (землетрясения в приложении к сейсмологии).
Замечание.
В выражении (201) можно перегруппировать члены следующим образом:
Что, после подстановки сюда уравнения движения (202), условий равновесия на границе (??) и закона Гука, дает:
Это выражение является обобщением известной теоремы Грина для лапласиана на случай вторых производных от векторов. Напомним, что теорема Грина имеет вид:
или в тензорной форме записи:
Теорема Грина является инструментом для изучения неоднородных уравнений вида
Аналогично, теорема Бетти может быть использована для исследования неоднородных уравнений упругости, где неоднородность определяется массовыми силами .
Резюме
6 Теорема единственности и взаимности.
1.Уравнение движения однородной упругой сплошной среды при заданных начальных и граничных условиях имеет единственное решение. Начальные условия определяются заданием смещений частиц и их скоростей в начальный момент времени. Граничные условия определяются заданием усилий или смещений на границе тела.
2.Два решения уравнения движения однородной упругой среды, полученные при различных массовых силах и граничных условиях, связанны интегральным соотношением (теорема Бетти). Это соотношение открывает возможность представления решения при заданных условиях в виде суперпозиции "элементарных" решений, полученных при достаточно простых условиях.
Заключение chapter Уравнение движения упругой среды.
В случае произвольной среды уравнение движения включает в себя как динамические (напряжения), так и кинематические (смещения) характеристики состояния сплошной среды. Для того, чтобы найти смещения точек среды (обычно и представляющие практический интерес) необходимо дополнить уравнение движения сплошной среды определяющими соотношениями, т.е. ввести в рассмотрение модель среды.
Для однородных упругих сред уравнение ьдвижения сводится к дифференциальным уравнениям второго порядка в частных производных относительно смещения. В случае однородной и изотропной среды эти уравнения называются уравнениями Ламе.
Уравнения движения однородной упругой среды при заданных начальных и граничных условиях имеют единственное решение. Решения уравнения движения при различных внешних силах связаны интегральным соотношением (теорема взаимности Бетти).
Работа внешних сил при движении сплошной среды расходуется на создание кинетической энергии движения точек (частиц) среды и потенциальной энергии деформации среды.