11.3 Соотношения между модулями.
Упругие свойства однородного
изотропного вещества можно характеризовать,
как мы видели, различными модулями:
Отметим, что все они положительны. Из
этих пяти модулей независимы --- только
два. Поэтому три других можно выразить
через них.
В таблице приведена сводка соотношений между упругими модулями.
Резюме sectionУпругие модули.
1. Упругие свойства однородной изотропной среды могут характеризоваться пятью модулями: параметром Ламе , модулем сдвига , модулем Юнга , модулем всестороннего сжатия , коэффициентом Пуассона . Модули являются константами вещества --- не зависят от конфигурации и плотности тела.
2. Из пяти указанных упругих модулей независимыми являются любые два модуля, три остальные могут быть выражен ы через них.
3. Из
термодинамических
соображений следует, что модули
и
--- положительны. Для всех известных в
настоящее время реальных тел модули
и
также положительны (хотя это и не
требуется термодинамикой).
12 Деформация с изменением температуры.
До сих пор при рассмотрении деформаций и напряжений предполагалось, что процесс деформирования происходит при постоянной температуре. Рассмотрим теперь деформации, сопровождающиеся изменением температуры тела. Изменение температуры может происходить как в результате самого процесса деформирования, так и по посторонним причинам. Будем рассматривать однородную и изотропную среду.
12.1 Закон Гука.
Недеформированным будем
считать состояние тела при отсутствии
внешних сил при некоторой заданной
температуре
.
Если тело находится при температуре
отличной от
,
то даже при отсутствии внешних сил оно
будет деформировано в результате
теплового расширения. Это означает, что
в разложение (171) свободной энергии
по деформации следует добавить линейный
по
член.
В изотропной среде тепловое
расширение по всем направлениям
одинаково, поэтому свободная энергия
может зависеть только от дилатации
,
характеризующей всестороннее расширение.
Коэффициент при
в разложении свободной энергии должен
зависеть от температуры и обращаться
в нуль при
.
Предположим, что изменение температуры
малы по сравнению с
,
т.е. будем рассматривать малые температурные
возмущения. В этом случае коэффициент
при
можно считать пропорциональным величине
.
Таким образом, в рассматриваемом случае выражение (171) для свободной упругой энергии можно переписать следующим образом:
(182)
где коэффициент при
обозначен через
,
--- модуль всестороннего сжатия,
--- новый коэффициент,
--- свободная энергия, не связанная с
деформированием.
Найдем напряжение . Согласно (139):
(183)
Выражение (183) имеет смысл закона Гука в случае деформирования упругого материала с изменением температуры.
Выясним физический смысл коэффициента . При отсутствии внешних сил --- при свободном тепловом расширении --- напряжения отсутствуют. Положим в (183) и осуществим свертку:
Учитывая, что , находим:
Поскольку дилатация равна относительному изменению объема при деформации, введенный коэффициент --- коэффициент объемного теплового расширения, численно равный относительному изменению объема при изменении температуры среды на градус.