4 Поляризация упругих волн.

Выясним характер движения частиц среды, обусловленный распространением в ней объемных волн и . Для этого необхолимо определить направление вектора смещения в каждой из волн.

Для компонент смещения мы имеем систему уравнений (216). Подставляя в эту систему значения скорости волн и , можно в каждом случае иметь направление вектора , т.е. определить поляризацию волн и .

4.1 Поляризация волн

.

Подстановка в (216)

дает

Поскольку (иначе , для имеем:

Поскольку --- скаляр, приходим к выводу:

т.е. направление смещения частиц в волне совпадает с направлением распространения волны. Тем самым волна представляет собой линейно поляризованную продольную волну.

4.2 Поляризация волны .

Подставляя в (216)

получим:

Умножая это уравнение скалярно на и учитывая, что найдем, что:

Или:

т.е. направление смещения частиц в волне ортогонально направлению распространения волны. Т.е. волна представляет собой поперечно поляризованную волну.

Заметим, что корень уравнения (217), определяющий скорость , является кратным: Это означает, что со скоростью в однородной изотропной среде распростряняются две поперечные волны. Направления смещений в них принимают обычно в вертикальной и горизонтальной плоскостях. В соответствии с этим первую волну обозначают , а вторую --- .

4.3 Геометрическая иллюстрация.

Выберем направление оси вдоль направления распространения объемных волн. Выделим в среде площадку, нормальную к оси и рассмотрим ее колебания.

1. Пусть колебания площадки имеют вид:

и .

Иакое колебание отвечает волне .

Действительно, в этом случае:

и, следовательно, . Поэтому

т.е. заданное колебание распространяется вдоль оси со скоростью

Рассмотрим пример наглядно показывает, что продольная волна --- это волна сжатия-расширения.

2. Пусть теперь колебания площадки имеют вид:

и

Такое колебание отвечает волне .

Действительно, в этом случае:

и, следовательно, Поэтому

т.е. заданное колебание распространяется вдоль оси со скоростью .

Этот пример показывает, что волна представляет собой поперечную волну сдвигов. Тоже самое можно сказать и о волне , которая в нашем примере поляридована вдоль оси .

Резюме section 4.

1. Волна явяляется линейно поляризованной продольной волной сжатия --- расширения.

2. Волна является суперпозицией двух поперечно линейно поляризованных волн сдвига. Волна , поляризованная в вертикальной плоскости называется , а в горизонтальной --- .

5 Энергия упругих волн.

5.1 Плотность энергии.

Плотность энаргии, сосредоточенной в упругой среде, равна сумме кмнетической энергии движения и потенциальной энергии деформации среды (??):

где

(220)

(221)

Найдем величины и в случае плоской упругой волны:

Будем обозначать:

Тогда, для получим:

Для того, чтобы определить для плоской волны, необходимо найти тензор деформаций. Очевидно:

Тогда:

и

В случае волны векторы и коллинеарны, следовательно:

и поэтому:

В случае волны векторы и ---ортогональны, следовательно:

и поэтому:

Сопоставляя выражения для и с выражением для , замечаем, что потенциальная энергия деформации в плоской волне равна кинетической энергии движения среды в этой волне:

и

Следовательно, плотность энергии, связанная с упругой волной, равна:

(222)

где u_k --- величина скорости движения (смещения) частиц среды в волне.

В случае плоской монохроматической волны можно определить среднюю за период плотность энергии. Пусть

Подставляя это выражение в (222) и осредняя по периоду, найдем:

здесь --- квадрат амплитуды смещений частиц среды в волне.

Учитывая, что , получим:

(223)