- •1 Глава 1. Тензоры в декартовых координатах.
- •1 Символ Кронекера и тензор Леви-Чивиты.
- •1.1 Символ кронекера.
- •1.2 Тензор Леви-Чивиты.
- •2 Дифференцирование и интегрирование тензоров.
- •2.1 Дифференциальные операции.
- •2.2 Теорема о дивергенции.
- •3 Приведение симметричного тензора 2-го ранга к каноническому виду.
- •3.1 Симметричные и антисимметричные тензоры.
- •3.2 Главные направления и главные значения тензора.
- •3.3 Приведение тензора к каноническому виду.
- •3.4 Тензорная поверхность.
- •2 Деформация.
- •1 Деформация и принцип ее описания.
- •1.1 Лагранжево и Эйлерово описание движения сплошной среды.
- •1.2 Тензор деформаций.
- •1.3 Ьалая деформация. Тензор Коши.
- •2 Теоретический смысл компонент тензора деформаций.
- •2.1 Изменение длины отрезков при деформации.
- •2.2 Изменение углов при деформации.
- •3 Разложение смещения на деформацию и вращение.
- •3.1 Разложение смещения.
- •3.2 Геометрический смысл компонент тензора
- •3.3 "Элементарные" деформации.
- •4 Относительная деформация в заданном направлении.
- •4.1 Выражение для относительной деформации в заданном направлении.
- •4.2 Иллюстрация тензорной природы
- •5 Главные оси, главные значения инварианты тензора деформаций.
- •5.1 Главные оси и главные значения.
- •5.2 Инварианты тензора деформаций.
- •5.3 Шаровой тензор и девиатор деформаций.
- •5.4 Дополнение. Иллюстрация: приведение тензора к каноническому виду.
- •6 Соотношения Сен-Венана (условия совместимости деформаций.
- •6.1 Зависимости деформаций водной плоскости.
- •6.2 Зависимости компонент деформации в разных плоскостях.
- •6.3 Соотношения Сен-Венена и непрерывность среды.
- •3 Напряжения.
- •1 Тензор напряжений.
- •1.1 Сплошность среды и принцип Коши.
- •1.2 Тензор напряжений.
- •1.3 Физический смысл компонент тензора напряжений.
- •1.4 Симметричность тензора напряжений.
- •2 Равновесие сплошной среды.
- •2.1 Уравнение равновесия.
- •2.2 Уравнение моментов.
- •2.3 Условие равновесия на поверхности тела.
- •2.4 Средние значения тензора напряжений.
- •3 Нормальные и касательные напряжения.
- •3.1 Разложение вектора напряжений.
- •3.2 Нормальные напряжения.
- •0.1 Касательные напряжения.
- •2 Главные направления, главные значения, инварианты тензора напряжений.
- •2.1 Приведение тензора напряжений к каноническому виду.
- •0.1 Максимальные нормальные напряжения.
- •0.2 Шаровой тензор и девиатор напряжений.
- •2 Особенные напряжения.
- •2.1 Максимальные касательные напряжения.
- •2.2 Октаэдрическая площадка.
- •4 Упругость.
- •5 Обобщенный закон Гука.
- •5.2 Обобщенный закон Гука.
- •6 Термодинамика деформирования.
- •6.1 Работа при деформации.
- •6.2 Основные термодинамические соотношения.
- •7 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •7.1 Свободная энергия упругой среды.
- •7.2 Свойства упругой свободной энергии.
- •7.3 Обобщенный закон Гука.
- •7.4 Потенциальная энергия упругой деформации.
- •8 Упругость с точки зрения термодинамики
- •9 Закон Гука для однородной и изотропной среды.
- •9.1 Однородность и изотропность.
- •9.2 Закон Гука в однородной изотропной среде.
- •10 Упругие модули
- •10.1 Модуль всестороннего сжатия.
- •11 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •11.1 Модуль сдвига.
- •11.2 Модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
- •11.3 Соотношения между модулями.
- •12 Деформация с изменением температуры.
- •12.1 Закон Гука.
- •12.2 Изотермические и адиабатические модули.
- •6 Уравнение движения упругой среды.
- •1 Уравнение движения.
- •2 Уравнение движения.
- •3 Уравнения движения упругой среды.
- •3.1 Уравнение движения однородной анизотропной упругой среды.
- •3.2 Уравнения движения однородной изотропной упругой среды.
- •3.3 Закон сохранения энергии при движении сплошной среды.
- •5 Теоремы единственности и взаимности.
- •5.1 Начальные и граничные условия к уравнению движения.
- •5.2 Теорема единственности.
- •5.3 Теорема Бетти(e.Betti).
- •6 Теорема единственности и взаимности.
- •7 Упругие волны.
- •1 Волновые уравнения для однородной изотропной упругой среды.
- •2 Решения волнового уравнения.
- •2.1 Монохроматические волны.
- •2.2 Сферические волны.
- •2.3 Плоские волны.
- •2.4 Плоские монохроматические волны.
- •3 Скорости упругих волн.
- •3.2 Общий принцип отыскания скоростей волн в сплошной среде.
- •4 Поляризация упругих волн.
- •4.1 Поляризация волн
- •4.2 Поляризация волны .
- •4.3 Геометрическая иллюстрация.
- •5 Энергия упругих волн.
- •5.1 Плотность энергии.
- •5.2 Поток энергии. Вектор Умова.
- •6 Отражение и преломление упругих волн.
- •6.1 Граничные условия.
- •6.2 Законотражения и преломления.
- •6.3 Отражение и преломление упругих волн.
- •7 Упругие волны в анизотропной однородной среды.
- •7.1 Уравнение дисперсии.
- •7.2 Свойства упругих волн в анизотропной среде.
- •8 Поверхностные волны.
- •8.1 Неоднородные плоские волны.
- •8.2 Поверхностная волна Релея (Rayleigh, 1885)
- •8.3 Поверхностная волна Лява
12.2 Изотермические и адиабатические модули.
В предыдущих параграфах, при формулировке закона Гука, мы рассматривали деформацию без изменения температуры. Поэтому, все введенные нами модули упругости являются изотермическими. Это обстоятельство формально следует и из (227).
Действительно, для изотермического процесса и (227) совпадает с (171). Будем обозначать изотермические модули с помощью индекса : , и т.д.
Существенным типом деформирования, особенно в динамическимх процессах, является адиабатическое деформирование. Найдем связь модулей упругости при адиабатическом процессе с изотермическими модулями. Адиабатические модули будем снабжать индексом : и т.д.
При адиабатическом процессе не происходит обмена теплом между частями тела, энтропия остается неизменной, а температура изменяется. Изменение температуры вызывает деформации дополнительно к деформациям, обусловленным внешними силами. Поэтому соотношение между напряжениями и деформациями изменяется, что и обуславливает отличие адиабатических модулей от изотермических.
Найдем изменение температуры при адиабатическом деформировании. В этом случае энтропия тела остается неизменной.
Энтропию тела можно найти как производную:
Подставляя сюда (227), получим:
или
Рассмотрим теперь адиабатический процесс, в результате которого объемная деформация стала равна , а температура изменилась от до , из условия
Найдем, что
Учитывая теперь, что
получим:
(184)
Здесь ---теплоемкость при постоянном объеме, отнесенная, как и все термодинамические величины, к единице объема. Она связана с "обыкновенной" удельной теплоемкостью очевидным соотношением:
Теперь можно записать закон Гука для адиабатического процесса. Для этого нужно подставить (184) в (183):
Или:
где обозначено:
(185)
(186)
Для сплошной среды удобнее использовать теплоемкость при постоянном давлении . Из термодинамики известно, что
откуда
Оценка величины для горных пород дает значение . Это означает, что различием и в интересующем нас случае можно пренебречь.
Таким образом, связь адиабатических модулей с изотермическими имеет вид:
(187)
Здесь через обозначена "обычная" удельная теплоемкость (теплоемкость на единицу массы).
Заметим, что для горных пород при
следует отметить, что адиабатический и изотермический модули сдвига совпадают. Это обстоятельство является следствием однородности и изотропности среды. Тепловое расширение одинаково по всем направлениям и вызывает поэтому только объемную деформацию. Дополнительная деформация адиабатического теплового расширения учитывается в законе Гука изменением модулей упругости. А поскольку тепловое расширение не вызывает сдвигов, .
Резюме sectionДеформация с изменением температуры.
1. Малые изменения температуры при деформации упругой однородной и изотропной среды учитываются введением в изотермический закон Гука дополнительного члена, описывающего деформацию теплового расширения.
2. При адиабатическом процессе деформирования дополнительная деформация теплового расширения обуславливает различие адиабатического и изотермического модулей всестороннего сжатия и . Модули сдвига при адиабатическом и изотермическом процессах совпадают.
Заключение к chapterупругость.
Введение в рассмотрение МСС тела с определенными механическими свойствами осуществляется посредством определяющих соотношений, задающих связь динамических и кинематических характеристик состояния среды --- связь напряжений и деформаций. В случае линейно-упругого тела роль определяющих соотношений играет обобщенный закон Гука , связывающий компоненты тензора напряжений и деформаций линейными и однородными функциями.
Свойство упругости означает обратимость процесса деформирования материала: упругая деформированная среда после снятия нагрузки, вызвавшей деформацию, возвращается в исходное недеформированное состояние. В случае малых упругих деформаций связь напряжений и деформаций можно считать линейной.
Коэффициенты, входящие в обобщенный закон Гука называются модулями упругости и составляют симметричный по всем индексам тензор четвертого ранга. В общем случае упругая среда характеризуется 21-м упругим модулем. В случае однородной и изотропной среды количество модулей упругости уменьшается до 2-х и они являются константами.
Термодинамическое состояние упругой среды полностью характеризуется энтропией и деформацией или температурой и деформацией. Потенциальная энергия деформации упругой среды выражается сверткой по обоим индексам тензоров напряжений и деформаций.
Изменение температуры при упругой деформации приводит к возникновению дополнительной деформации теплового расширения. Эта дополнительная деформация обуславливает различие упругих модулей при изотермическом и адиабатическом процессах.