2 Деформация.

Под деформацией сплошной среды принимают изменение относительного положения точек среды. Настоящая глава посвящена рассмотрению математического аппарата, позволяющего описывать деформацию.

1 Деформация и принцип ее описания.

Деформация, в том смысле, в котором мы ее определили, подразумевает изменение положения точек среды. Поэтому, при описании деформации можно говорить о движении сплошной среды, понимая в данном случае под движением как "обычное" непрерывное движение, так и изменение состояния из положения "до деформации" в положение "после деформации".

Рассмотрим, прежде всего, два подхода к описанию движения сплошной среды.

1.1 Лагранжево и Эйлерово описание движения сплошной среды.

Введем декартову систему координат, не связанную с деформируемым телом. Координаты точек тела до деформации будем обозначать как , а после деформации --- как .

1). Лагранжево описание. Зафиксируем некоторую частицу (точку) среды до деформации и будем описывать движение сплошной среды как изменение координат этой частицы в пространстве в процессе деформирования. Тем самым Лагранжево описание сводится к построению функции:

(55)

для каждой точки (частицы) среды с исходными координатами . 2). Эйлерово описание. Зафиксируем некоторую точку пространства и будем описывать движение сплошной среды как смену частиц (точек) среды, находящихся в выбранной точке процесса деформирования. Каждую частицу среды будем характеризовать ее координатами до деформации. Тем самым, Эйлерово описание сводится к построению функции

(56)

для каждой точки пространства .

Сплошность среды подразумевает, что, во-первых, две различные точки до деформации точки тела остаются различными и после дефомации и, во-вторых, при деформации не возникает разрывов среды, т.е. все граничные точки тела остаются граничными, а все внутренние --- внутренними. Это обстоятельство означает, что функции и и (202) и (203) являются однозначными и непрерывными.

В том случае, когда деформация изменяется во времени, функции и содержат своим аргументом время .

Лагранжево и Эйлерово описания движения сплошной среды в физическом отношении эквивалентны. Выбор того или иного подхода определяется соображениями удобства для решения конкретной проблемы. Так в гидродинамике используется Эйлерово описание, сводящееся к построению полей различных механических величин в пространстве: скорости, давления, плотности и т.д. Гидродинамика обычно работает со средой, протекающей через некоторое неподвижное пространство и, поэтому, не интересуется полем смещений частиц.

В динамической теории упругости, напротив, смещения частиц представляют существенное значение. В этом случае оказывается более удобным Лагранжево описание движения, и мы будем придерживаться его в дальнейшем.

В Качестве последнего замечания отметим, что как подход "Эйлера", так и подход "Лагранжа" к описанию движения сплошной среды был разработан Леонардом Эйлером.

1.2 Тензор деформаций.

Мы видели, что функции и , описывающие деформацию сплошной среды, обладают свойствами непрерывности. Это обстоятельство, как и сама сплошность среды, наводит на мысль о необходимости дифференциального описания деформации, т.е. построения такого математического объекта, который характеризовал бы деформацию в бесконечно малой окрестности выбранной точки среды (Лагранжев подход) или точке пространства (Эйлеров подход). Поэтому, рассмотрим две бесконечно близкие точки среды с координатами ( ) и ) ) до деформации. Соответствующие им точк пространства обозначим через и . Согласно Лагранжевому подходу следует рассмотреть изменения координат выбранных точек в результате деформации. Пусть после деформации выбранные точки среды займут позиции и с координатами и . Поскольку по определению деформация --- это изменение взаимного расположения точек среды, рассмотрим изменение расстояния . Очевидно, что, зная как меняется расстояние между двумя бесконечно близкими точками, можно определить изменение любых геометрических объектов (линий, объемов и т.д.).

В соответствии с Лагранжевым подходом:

до деформации, очевидно, , а после деформации .

Но, в силу непрерывности :

i'= f_i x_kdx_k Найдем :

Обозначим:

(57)

В этих обозначениях:

(58)

Выражение (206) означает, что набор величин характеризует изменение расстояния между двумя бесконечно близкими точками среды, следовательно, описывает деформацию среды. Выражение (206) получено для окрестности точки среды с исходными координатами . Поэтому следует считать, что --- функция координат:

В выражении (206) и ---компоненты вектора , а ---скаляр. Следовательно, согласно теореме деления (section 1, chapter 1) введенный нами математический объект является тензором второго ранга. Поскольку он описывает деформацию, называется тензором деформации Лагранжа-Грина. В section 4 тензорная природа u Вектор называется перемещением. Если одинаков для всех точек тела, т.е. если =const, то тело перемещается поступательно как абсолютно твердое, и его деформация, следовательно, равна нулю. Если же перемещение зависит от координат, то различные точки тела пермещаются по разному, их взаимное положение изменяется и имеет место деформация среды. Следовательно, деформация среды должна описываться изменениями вектора в пространстве. Ясно, что вектор

исключает из рассмотрения перемещение тела как целого, а производные (градиенты) характеризует дкформацию. Очевидно также, что вектор описывает изменение положения точки относительно точки . В МСС вектор называют смещением (наряду с общепринятым названием "перемешение").

Выразим тензор деформаций через градиенты смещения. Очевидно, что можно записать как:

Подставляя это в (205) найдем, что:

Следовательно:

(59)

Выражение (207) является наиболее распространенной формой записи тензора Лагранжа-Грина. Заметим, что по олпределению (207) этот тензор симметричен.

Замечание. Аналогичные рассуждения можно провести и в Эйлеровых координатах. При эйлеровом подходе в соответствии с (203):

Для характеристики деформации можно получить тензор:

или смещения:

тензор называется тензором деформаций Эйлера-Альманзи.

Итак, деформация сплошной среды описывается тензором второго ранга. Появление такого объекта при описании деформации сплошной среды вполне естественно. Действительно, деформация по определению обусловлена относительным перемещением точек тела (в нашем случае точки относительно точки ). Относительное положение точек задается вектором с началом в одной точке и концом в другой ( в нашем случае). Оператор, осущесьвляющий эту трансформацию и характеризует деформацию среды. Но в главе 1 мы видели, что оператором трансформирующим один вектор в другой, является тензор второго ранга. Поэтому деформация должна описываться тензорной величиной.