- •1 Глава 1. Тензоры в декартовых координатах.
- •1 Символ Кронекера и тензор Леви-Чивиты.
- •1.1 Символ кронекера.
- •1.2 Тензор Леви-Чивиты.
- •2 Дифференцирование и интегрирование тензоров.
- •2.1 Дифференциальные операции.
- •2.2 Теорема о дивергенции.
- •3 Приведение симметричного тензора 2-го ранга к каноническому виду.
- •3.1 Симметричные и антисимметричные тензоры.
- •3.2 Главные направления и главные значения тензора.
- •3.3 Приведение тензора к каноническому виду.
- •3.4 Тензорная поверхность.
- •2 Деформация.
- •1 Деформация и принцип ее описания.
- •1.1 Лагранжево и Эйлерово описание движения сплошной среды.
- •1.2 Тензор деформаций.
- •1.3 Ьалая деформация. Тензор Коши.
- •2 Теоретический смысл компонент тензора деформаций.
- •2.1 Изменение длины отрезков при деформации.
- •2.2 Изменение углов при деформации.
- •3 Разложение смещения на деформацию и вращение.
- •3.1 Разложение смещения.
- •3.2 Геометрический смысл компонент тензора
- •3.3 "Элементарные" деформации.
- •4 Относительная деформация в заданном направлении.
- •4.1 Выражение для относительной деформации в заданном направлении.
- •4.2 Иллюстрация тензорной природы
- •5 Главные оси, главные значения инварианты тензора деформаций.
- •5.1 Главные оси и главные значения.
- •5.2 Инварианты тензора деформаций.
- •5.3 Шаровой тензор и девиатор деформаций.
- •5.4 Дополнение. Иллюстрация: приведение тензора к каноническому виду.
- •6 Соотношения Сен-Венана (условия совместимости деформаций.
- •6.1 Зависимости деформаций водной плоскости.
- •6.2 Зависимости компонент деформации в разных плоскостях.
- •6.3 Соотношения Сен-Венена и непрерывность среды.
- •3 Напряжения.
- •1 Тензор напряжений.
- •1.1 Сплошность среды и принцип Коши.
- •1.2 Тензор напряжений.
- •1.3 Физический смысл компонент тензора напряжений.
- •1.4 Симметричность тензора напряжений.
- •2 Равновесие сплошной среды.
- •2.1 Уравнение равновесия.
- •2.2 Уравнение моментов.
- •2.3 Условие равновесия на поверхности тела.
- •2.4 Средние значения тензора напряжений.
- •3 Нормальные и касательные напряжения.
- •3.1 Разложение вектора напряжений.
- •3.2 Нормальные напряжения.
- •0.1 Касательные напряжения.
- •2 Главные направления, главные значения, инварианты тензора напряжений.
- •2.1 Приведение тензора напряжений к каноническому виду.
- •0.1 Максимальные нормальные напряжения.
- •0.2 Шаровой тензор и девиатор напряжений.
- •2 Особенные напряжения.
- •2.1 Максимальные касательные напряжения.
- •2.2 Октаэдрическая площадка.
- •4 Упругость.
- •5 Обобщенный закон Гука.
- •5.2 Обобщенный закон Гука.
- •6 Термодинамика деформирования.
- •6.1 Работа при деформации.
- •6.2 Основные термодинамические соотношения.
- •7 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •7.1 Свободная энергия упругой среды.
- •7.2 Свойства упругой свободной энергии.
- •7.3 Обобщенный закон Гука.
- •7.4 Потенциальная энергия упругой деформации.
- •8 Упругость с точки зрения термодинамики
- •9 Закон Гука для однородной и изотропной среды.
- •9.1 Однородность и изотропность.
- •9.2 Закон Гука в однородной изотропной среде.
- •10 Упругие модули
- •10.1 Модуль всестороннего сжатия.
- •11 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •11.1 Модуль сдвига.
- •11.2 Модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
- •11.3 Соотношения между модулями.
- •12 Деформация с изменением температуры.
- •12.1 Закон Гука.
- •12.2 Изотермические и адиабатические модули.
- •6 Уравнение движения упругой среды.
- •1 Уравнение движения.
- •2 Уравнение движения.
- •3 Уравнения движения упругой среды.
- •3.1 Уравнение движения однородной анизотропной упругой среды.
- •3.2 Уравнения движения однородной изотропной упругой среды.
- •3.3 Закон сохранения энергии при движении сплошной среды.
- •5 Теоремы единственности и взаимности.
- •5.1 Начальные и граничные условия к уравнению движения.
- •5.2 Теорема единственности.
- •5.3 Теорема Бетти(e.Betti).
- •6 Теорема единственности и взаимности.
- •7 Упругие волны.
- •1 Волновые уравнения для однородной изотропной упругой среды.
- •2 Решения волнового уравнения.
- •2.1 Монохроматические волны.
- •2.2 Сферические волны.
- •2.3 Плоские волны.
- •2.4 Плоские монохроматические волны.
- •3 Скорости упругих волн.
- •3.2 Общий принцип отыскания скоростей волн в сплошной среде.
- •4 Поляризация упругих волн.
- •4.1 Поляризация волн
- •4.2 Поляризация волны .
- •4.3 Геометрическая иллюстрация.
- •5 Энергия упругих волн.
- •5.1 Плотность энергии.
- •5.2 Поток энергии. Вектор Умова.
- •6 Отражение и преломление упругих волн.
- •6.1 Граничные условия.
- •6.2 Законотражения и преломления.
- •6.3 Отражение и преломление упругих волн.
- •7 Упругие волны в анизотропной однородной среды.
- •7.1 Уравнение дисперсии.
- •7.2 Свойства упругих волн в анизотропной среде.
- •8 Поверхностные волны.
- •8.1 Неоднородные плоские волны.
- •8.2 Поверхностная волна Релея (Rayleigh, 1885)
- •8.3 Поверхностная волна Лява
2.1 Изменение длины отрезков при деформации.
Введем понятие линейной деформации (относительно удлинения) как:
(62)
где и ---элементы длины соответственно до и после деформации. Если , то (213) описывает относительное удлинение элемента , если , то --- относительное сжатие.
Рассмотрим малую деформацию и рассчитаем линейную деформацию элемента . В силу малой деформации .
Согласно (206) в этом случае
а поскольку, очевидно, :
Подставляя сюда выражение для из (213) и учитывая малость , найдем, что:
(63)
(64)
(65)
Таким образом, диагональные элементы тензора деформаций --- суть относительные удлинения или сжатия отрезков в направлениях соответствующих осей координат. При этом удлинениям отвечают положительные значения , сжатиям --- отрицательные.
2.2 Изменение углов при деформации.
Выберем два линейных элемента и , ортогональных до деформации таким образом, чтоЖ
и
После деформации эти элементы перейдут в элементы и :
(66)
(67)
В общем случае элементы и dq' уже не будут ортогональны. Обозначим угол между ними через .
Найдем скалярное произведение:
но, согласно (205):
Следовательно :
Согласно (191) и . Подставляя это в полученное выражение, найдем, что
или, с учетом малости деформации:
Введем угол . Он равен величине изменения прямого угла в плоскости при деформации. Тогда имеем:
а с учетом малости и, следовательно, малости окончательно находим:
(68)
Таким образом, недиагональные компоненты тензора деформаций равны половинам величин изменения при деформации прямых углов в соответствующих плоскостях (выраженных в радианах). При этом, если , то соответствующий угол уменьшается, а если , то --- увеличивается.
Резюме section 2.
Выяснен геометрический смысл компонент тензора деформаций.
1. Диагональные компоненты --- суть относительные удлинения отрезков вдоль соответствующих осей координат.
2. Недиагональные компоненты --- суть половины величин изменения прямых углов в соответствующих координатных плоскостях.
3 Разложение смещения на деформацию и вращение.
Экспериментально измеряемой в МСС величиной обычно является смещение, а о деформации судят, анализируя функции . Поэтому рассмотрим более подробно соотношение смещения и деформации.
3.1 Разложение смещения.
Выше уже отмечалось, что деформация характеризуется изменением вектора смещения в пространстве. Поэтому, рассмотрим прирощение смещения в некоторой точке . Очевидно, что:
В этом случае нас интересует геометрический смысл выражения:
Рассмотрим выражения и , выясним их геометрическое содержание. Для этого найдем величину угла . Из рисунка:
(69)
(70)
Следовательно, с учетом малости деформации:
Аналогично получим, что:
Тензор называют иногда градиентом перемещений, или дисторсией. Его можно разложить на симметричный и антисимметричный тензоры:
Симметричная часть совпадает с тензором деформаций; антисимметричную часть обозначим через :
(71)
Тогда, приращение можно записать:
(72)
Из выражения (216) следует, что перемещение помимо деформационного компонента содержит еще одну составляющую, описываемую тензором .