- •1 Глава 1. Тензоры в декартовых координатах.
- •1 Символ Кронекера и тензор Леви-Чивиты.
- •1.1 Символ кронекера.
- •1.2 Тензор Леви-Чивиты.
- •2 Дифференцирование и интегрирование тензоров.
- •2.1 Дифференциальные операции.
- •2.2 Теорема о дивергенции.
- •3 Приведение симметричного тензора 2-го ранга к каноническому виду.
- •3.1 Симметричные и антисимметричные тензоры.
- •3.2 Главные направления и главные значения тензора.
- •3.3 Приведение тензора к каноническому виду.
- •3.4 Тензорная поверхность.
- •2 Деформация.
- •1 Деформация и принцип ее описания.
- •1.1 Лагранжево и Эйлерово описание движения сплошной среды.
- •1.2 Тензор деформаций.
- •1.3 Ьалая деформация. Тензор Коши.
- •2 Теоретический смысл компонент тензора деформаций.
- •2.1 Изменение длины отрезков при деформации.
- •2.2 Изменение углов при деформации.
- •3 Разложение смещения на деформацию и вращение.
- •3.1 Разложение смещения.
- •3.2 Геометрический смысл компонент тензора
- •3.3 "Элементарные" деформации.
- •4 Относительная деформация в заданном направлении.
- •4.1 Выражение для относительной деформации в заданном направлении.
- •4.2 Иллюстрация тензорной природы
- •5 Главные оси, главные значения инварианты тензора деформаций.
- •5.1 Главные оси и главные значения.
- •5.2 Инварианты тензора деформаций.
- •5.3 Шаровой тензор и девиатор деформаций.
- •5.4 Дополнение. Иллюстрация: приведение тензора к каноническому виду.
- •6 Соотношения Сен-Венана (условия совместимости деформаций.
- •6.1 Зависимости деформаций водной плоскости.
- •6.2 Зависимости компонент деформации в разных плоскостях.
- •6.3 Соотношения Сен-Венена и непрерывность среды.
- •3 Напряжения.
- •1 Тензор напряжений.
- •1.1 Сплошность среды и принцип Коши.
- •1.2 Тензор напряжений.
- •1.3 Физический смысл компонент тензора напряжений.
- •1.4 Симметричность тензора напряжений.
- •2 Равновесие сплошной среды.
- •2.1 Уравнение равновесия.
- •2.2 Уравнение моментов.
- •2.3 Условие равновесия на поверхности тела.
- •2.4 Средние значения тензора напряжений.
- •3 Нормальные и касательные напряжения.
- •3.1 Разложение вектора напряжений.
- •3.2 Нормальные напряжения.
- •0.1 Касательные напряжения.
- •2 Главные направления, главные значения, инварианты тензора напряжений.
- •2.1 Приведение тензора напряжений к каноническому виду.
- •0.1 Максимальные нормальные напряжения.
- •0.2 Шаровой тензор и девиатор напряжений.
- •2 Особенные напряжения.
- •2.1 Максимальные касательные напряжения.
- •2.2 Октаэдрическая площадка.
- •4 Упругость.
- •5 Обобщенный закон Гука.
- •5.2 Обобщенный закон Гука.
- •6 Термодинамика деформирования.
- •6.1 Работа при деформации.
- •6.2 Основные термодинамические соотношения.
- •7 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •7.1 Свободная энергия упругой среды.
- •7.2 Свойства упругой свободной энергии.
- •7.3 Обобщенный закон Гука.
- •7.4 Потенциальная энергия упругой деформации.
- •8 Упругость с точки зрения термодинамики
- •9 Закон Гука для однородной и изотропной среды.
- •9.1 Однородность и изотропность.
- •9.2 Закон Гука в однородной изотропной среде.
- •10 Упругие модули
- •10.1 Модуль всестороннего сжатия.
- •11 Упругость с точки зрения термодинамики.
- •11.1 Модуль сдвига.
- •11.2 Модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
- •11.3 Соотношения между модулями.
- •12 Деформация с изменением температуры.
- •12.1 Закон Гука.
- •12.2 Изотермические и адиабатические модули.
- •6 Уравнение движения упругой среды.
- •1 Уравнение движения.
- •2 Уравнение движения.
- •3 Уравнения движения упругой среды.
- •3.1 Уравнение движения однородной анизотропной упругой среды.
- •3.2 Уравнения движения однородной изотропной упругой среды.
- •3.3 Закон сохранения энергии при движении сплошной среды.
- •5 Теоремы единственности и взаимности.
- •5.1 Начальные и граничные условия к уравнению движения.
- •5.2 Теорема единственности.
- •5.3 Теорема Бетти(e.Betti).
- •6 Теорема единственности и взаимности.
- •7 Упругие волны.
- •1 Волновые уравнения для однородной изотропной упругой среды.
- •2 Решения волнового уравнения.
- •2.1 Монохроматические волны.
- •2.2 Сферические волны.
- •2.3 Плоские волны.
- •2.4 Плоские монохроматические волны.
- •3 Скорости упругих волн.
- •3.2 Общий принцип отыскания скоростей волн в сплошной среде.
- •4 Поляризация упругих волн.
- •4.1 Поляризация волн
- •4.2 Поляризация волны .
- •4.3 Геометрическая иллюстрация.
- •5 Энергия упругих волн.
- •5.1 Плотность энергии.
- •5.2 Поток энергии. Вектор Умова.
- •6 Отражение и преломление упругих волн.
- •6.1 Граничные условия.
- •6.2 Законотражения и преломления.
- •6.3 Отражение и преломление упругих волн.
- •7 Упругие волны в анизотропной однородной среды.
- •7.1 Уравнение дисперсии.
- •7.2 Свойства упругих волн в анизотропной среде.
- •8 Поверхностные волны.
- •8.1 Неоднородные плоские волны.
- •8.2 Поверхностная волна Релея (Rayleigh, 1885)
- •8.3 Поверхностная волна Лява
7 Упругость с точки зрения термодинамики.
Модель среды, как отмечалось в начале этой главы, определяется соотношениями между напряжениями и деформациями. При термодинамическом описании деформирования эти соотношения фактически задаются выражениями (138). Если для рассматриваемой модели определены функции
или
то выражение (138) позволяет получить определяющие соотношения в явном виде. Определим свободную энергию для упругой модели среды.
7.1 Свободная энергия упругой среды.
Введем понятие упругости.
Тело будем называть упругим, если при снятии нагрузки деформированное этой нагрузкой тело возвращается в исходное состояние. В частности, если по прекращениии действия на него внешних сил оно возвращается в исходное недеформированное состояние. В терминах и понятие упругости означает, что и связаны взаимно-однозначной функцией и при .
Исходя из этого определения упругости найдем выражение для свободной энергии . Будем пока рассматривать дефомацию при постоянной температуре. Термоупругость рассмотрим отдельно (в ??.
Разложим функцию в ряд по в окрестности точки и воспользуемся имеющимися в нашем распоряжении требованиями:
1. Малость ( )
2. Упругость. (Взаимная однозначность и и при ).
Обозначим:
и
Тогда:
(140)
Первое требование --- малость деформаций позволяет ограничиться в (215) младшими по членами.
Второе требование --- упругость --- определяет, что и, следовательно, в (215) следует ограничиться квадратичными по членами. Покажем это.
Подставив (215) в (139) определим :
Заменяя немые индексы в первой свертке, получим:
требование упругости определяет, что при должно быть . Подставляя это в полученное выражение для находим, что при :
Таким образом, свободная энергия для упругой среды при малых деформациях имеет вид:
(141)
Постоянный член в (216) --- свободная энергия недеформированного тела для нас не представляет интереса. Поэтому в дальнейшем будем его опускать, подразумевая под только свободную энергию деформации упругого тела, или, как говорят, упругую свободную энергию.
7.2 Свойства упругой свободной энергии.
В силу симметричности тензора деформаций из (216) следует, что
(142)
В силу симметричности выражения (216) относительно тензора деформаций из него следует также, что
(143)
Свойства (217) означает, что тензор содержит 21 независимую компоненту.
Выражение (216) дл является квадратичной формой от . Из термодинамики известно, что в состоянии равновесия свободная энергия достигает своего минимума. Но в равновесном состоянии . Следовательно:
и при т.е. свободная упругая энергия является положительно определенной формой.
7.3 Обобщенный закон Гука.
Подставим (216) в (139) и найдем :
Учитывая свойство симметричности (??), это можно переписать как:
(144)
Это выражение совпадает с обощенным законом Гука (203). При этом
Т.о. обощенный закон Гука, основанный на эмпирических данных, отвечает введенному нами понятию упругой среды при малых деформациях.
Тензор моделей упругости совпадает с коэффициентами и обладает теми же свойствами симметрии (217). Следовательно
и .
Это обстоятельство показывает, что в общем случае тензор содержит 21 независимый модуль упругости.
Помимо выяснения свойств симметрии тензора , рассмотрение деформирования с точки зрения термодинамики позволило наполнить физическим смыслом понятие упругости и определить границы применимости линейной упругой модели среды. Для наглядности представим процесс деформирования в координатах Закон Гука (203) или (198) гласит, что связь между и линейна в области малых деформаций и при . Применимость закона Гука может нарушаться по 2-м причинам: 1. Выход деформации за границы малости: . 2. Физическое отклонение вещества от упругого поведения.
Опыт показывает, что такое отклонение наступает для большинства веществ при . Величина называется пределом упругости.
Для большинства веществ , т.е. тела перестают быть упругими еще тогда, когда деформации малы, (т.е. типичной кривой является кривая 2). Исключения представляют тела типа резины.