3.2 Геометрический смысл компонент тензора

.

Выясним геометрический смысл компонент тензора

Будем рассматривать деформацию в окрестности т. , а точки и --- в точки и . Учитывая малость и можно считать, что

(73)

(74)

Следовательно: . Это означает, что компонента суть угол поворота элемента этой среды вокруг оси в окрестности т. как единого целого. Аналогичный смысл имеют и другие компоненты тензора . В соответствии со своим геометрическим смыслом тензор , определяемый выражением (215), называется тензором поворотов. Поскольку тензор , вообще говоря, зависит от координат, углы поворота в различных точках --- различны. Поэтому тензор можно было бы назвать тензором локальных поворотов, подчеркивая тем самым отличие рассмотренной ситуации от поворота всего деформируемого тела как единого целого.

Замечание. По аналогии с известным в механике твердого тела вектором угловой скорости в нашем случае можно ввести вектор поворота. Определим его как:

подставляя сюда выражение (215), легко видеть, что

Например, при :

Т.е. вектор поворота направлен вдоль оси поворота, а его величина равна углу поворота.

Итак, мы видим, что трансформация взаимного расположения точек и состоит из трех частей: изменения расстояния и , изменения угла и поворота всех трех точек как единого целого. Первые две части отвечают деформации.

Действительно:

или , что соответствует (191). Bpvtytybt угла равно, очевидно:

что отвечает (194).

Проведенное нами геометрическое представление трансформации взаимного положения точек в окрестности т. как суперпозиции деформации и поворота является геометрической иллюстрацией выражения (216). Вообще говоря, очевидно, что любое перемещение точек можно представить как суперпозицию поступательного, вращательного движения и деформации.

В дальнейшем будем интересоваться только той частью смещений, которая обусловлена деформацией. Для приращения таких смещений справедливо, согласно (216), выражение:

(75)

3.3 "Элементарные" деформации.

Рассмотрим два частных случая деформаций. Во-первых, будем считать, что тензор деформации не зависит от координат, т.е. что деформация во всех точках одинакова. Такая деформация называется однородной.

Во-вторых, будем полагать отличным от нуля только одну из шести независимых компонент тензора деформации. В этом смысле рассматриваемые деформации являются элементарными.

Итак, пусть:

и

Согласно (191) это означает, что расстояния между точками среды изменяются только в направлении оси 1, причем для всех точек в равной мере. Такая деформация называется чистым расияжением (если ) или сжатием (если .

Пусть теперь

и .

В соответствии с (194) при такой деформации изменяется на величину угол между отрезками, расположенными вдоль осей 1 и 2, а длины этих отрезков согласно (191) не изменяются. Такая деформация называется чистым сдвигом.

Заметим, что в рассмотренном случае , т.е. имеет место поворот на угол , равный .

Если мы зададим теперь и , то угол поворота будет равен ---_12, а деформация, естественно, не изменится.

Резюме section 3.

Относительное смещение точек сплошной среды является суперпозицией двух процессов: деформации и локального поворота элемента среды как целого.