Лекция №12 (II семестр)

Тема: Теорема о произведении неособенных матриц.

Содержание:

Произведение двух невырожденных матриц А и В является невырожденной матрицей, причем .

Обратная матрица для невырожденной матрицы так же является невырожденной и .

Доказательство: По условию, , , но , т.о. – невырожденная матрица.

Так как , то матрица для А существует, и

, следовательно, .

Матрица А, очевидно, удовлетворяет уравнению: , так что А является обратной для , следовательно, .

Теорема: Множество невырожденных квадратных матриц порядка N является группой по умолчанию. В самом деле. Замкнутость очевидна, так как доказано ранее, что произведение невырожденных матриц есть невырожденная матрица. В лекции №7 была доказана ассоциативность произведения матриц. Кроме того невырожденная матрица обратная и обратная является невырожденной (доказано выше). Е является невырожденной матрицей. Таким образом аксиомы выполнены и теорема доказана.

Теорема. Множество степеней невырожденной матрицы образует абелеву группу относительно умножения матриц.

Доказательство.

Н евырожденность произведения доказана ранее. Имеет место равенство Аⁿ∙А^m= А^n+m . В самом деле: Аⁿ∙А^m= (А∙.…∙А)∙(А∙….∙А) =А∙….∙А=А^n+m.

nmm+n

Из этого следует произведение степеней матрицы, т.е. имеет место замкнутость. Единичная матрица может интерпретироваться как А⁰. (Все свойства Епри такой интерпретации сокращаются). Ассоциативность вытекает из свойств матричного умножения. А^-n определим как (А^-1)ⁿ (невырожденность обратной доказана ранее). Тогда (Аⁿ)^-1 = (А^-1)ⁿ. Таким образом аксиом группы выполнены. Множество невырожденных матриц вида Аⁿявляется циклической группой конечного, либо бесконечного порядка. Например матрицы вида порождают циклическую группу бесконечного порядка. Матрицы вида образуют циклическую группу второго порядка .

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №13 (II семестр)

Тема: Определение линейного оператора. Ядро и дефект. Теорема о биективном соответствии образа и дополнительного к ядру подпространства. Линейное пространство операторов.

Содержание:

Определение линейного оператора. Ядро и дефект линейного оператора.

Определение: Пусть даны линейные пространства X и Y над одним и тем же полем Р. Отображение называется линейным оператором, действующим из X в Y, если для .

Примеры:

1. Пусть – два линейных пространства над полем Р. , . (Всякий изоморфизм – линейный оператор)

2. Пусть Е – евклидово пространство над, L – произвольное его подпространство. и – изученные нами свойства данных функций позволяют утверждать, что это - два линейных оператора, действующих между L и , L и L.

3. Отображение, ставящее в соответствие каждому вектору линейного пространства X нулевой вектор пространства Y, очевидно, является линейным оператором. ( ).

4. Поставим в соответствие каждому вектору линейного пространства X этот же вектор. Это тоже линейный оператор: . Он называется тождественным, или единичным линейным оператором.

5. Пусть . Введем новый оператор В по следующему правилу: . Этот оператор называется противоположным для А. ( )

6. Зафиксируем элемент  поля Р и поставим в соответствие вектор . Полученный таким образом оператор также является линейным, действующим из X в X. Этот оператор называется скалярным оператором.

Из определения линейного оператора следует, что , для . Каждый линейный оператор нулевой вектор переводит в нулевой.

Лемма 1: Пусть . Множество – (множество всех значений оператора А) является подпространством линейного пространства Y.

Доказательство: Пусть , .

.

Определение: Пусть . Размерность подпространства называется рангом оператора А. ( )

Лемма 2: Пусть . Множество – ядро линейного оператора А. Ядро линейного оператора А является подпространством линейного пространства X.

Доказательство: Пусть , .

Для

.

Определение: Размерность ядра называется дефектом оператора А и обозначается .

Теорема 1: Пусть . Представим X в виде: , где – любое подпространство, дополнительное к ядру. Тогда , и это соответствие – изоморфизм.

Доказательство: Рассмотрим произвольный вектор ). .

Этим мы установили, что отображение сюрьективно.

Установим инъективность этого отображения, т.е. докажем, что является образом единственного вектора . Пусть , .

.

Тогда .

Инъективность доказана.

То, что это – изоморфизм, следует из определения линейного оператора.

Таким образом, , кроме того, мы знаем, что (в силу определения прямой суммы), откуда следует, что , .

Линейный оператор А устанавливает изоморфное соответствие между подпространством и любым подпространством линейного пространства X, которое в прямой сумме с ядром дает все пространство X. Любой линейный оператор А порождает целое семейство линейных операторов, каждый из которых на своей области определения совпадает с А.

Примеры:

1. Пусть в линейном пространстве задан базис. Оператор А ставит каждому вектору из X его координату с фиксированным номером. Пусть дано X – конечномерное, – базис X, , .

2. В евклидовом пространстве Е зафиксируем вектор , а оператор А ставит в соответствие вектору число

Линейное пространство линейных операторов.

Рассмотрим два линейных пространства X и Y, заданных над одним и тем же полем Р и рассмотрим множество всех линейных операторов, действующих из X в Y и обозначим его .

Определение:

Пусть . Будем говорить, что .

Оператор называется суммой А и В и обозначается , если .

Теорема 2: Множество относительно введенной операции сложения является абелевой группой.

Доказательство:

1. Замкнутость. Пусть . Рассмотрим .

. Таким образом .

2. Ассоциативность.

3. Нейтральным элементом является нулевой оператор.

4. Симметричным элементом будет противоположный оператор.

5. Коммутативность.

Определение: Оператор называется произведением и обозначается .

Теорема : Относительно операций сложения линейных операторов и умножения линейных операторов на элемент поля множество является линейным пространством.

Доказательство сводится к проверке аксиом линейного пространства.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с