Лекция №26 (II семестр)

Тема: Закон инерции. Положительно определённые формы.

Содержание:

Закон инерции квадратичных форм. Положительно определенная квадратичная форма, приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.

Одну и ту же квадратичную форму можно привести к каноническому виду несколькими способами, но число членов с положительными коэффициентами, также, как и число членов с отрицательными коэффициентами во всех канонических формах квадратичной формы будет одинаковым. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм, т.е. справедлива теорема:

Если данная квадратичная форма с помощью двух различных линейных преобразований приводится к каноническому виду, то число положительных коэффициентов при квадратах новых переменных, также, как и число отрицательных, в обоих случаях будет одним и тем же.

Число всех ненулевых членов в каноническом виде квадратичной формы называется рангом этой квадратичной формы. Число положительных членов называется ее положительным индексом. Практически возможно найти ранг и положительный индекс квадратичной формы.

Квадратичная форма называется положительно определенной, если при любых, неравных одновременно нулю значениях переменных, ее значение положительно.

Пример:

1. – положительно определенная квадратичная форма.

2. – не является положительно определенной квадратичной формой.

Справедлива теорема:

Для того, чтобы квадратичная форма от n переменных была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы ее положительный индекс равнялся n.

Имеет место критерий Сильвестра.

Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры ее матрицы положительны.

Способ приведения квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Рассмотрим квадратичную форму: (1)

Рассмотрим матрицу этой квадратичной формы и составим характеристическое уравнение:

= 0 (2).

Тогда есть – корни уравнения (2). (Известно, что если матрица симметричная, то все ее собственные значения будут действительными числами), следовательно, канонический вид этой формы таков:  (3), здесь каждый корень взят столько раз, какова его кратность.

Для нахождения коэффициентов в каноническом виде (3) достаточно решить характеристическое уравнение (2). Укажем способ нахождения ортонормированного базиса и ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму у виду (3)

Определение: Линейный оператор называется ортогональным, если его матрица ортогональна. Квадратная матрица называется ортогональной, если .

Пусть – корень характеристического уравнения (2). Решим систему:

Найдем собственный вектор (в случае, когда кратность равна 1), соответствующий собственному значению .

Пусть кратность корня равна m > 1. После его подстановки в систему (4) найдем m линейно независимых решений, выбрав их так, чтобы они определяли m попарно ортогональных единичных векторов. Эти векторы образуют ортонормированный базис m-мерного подпространства, состоящего из собственных векторов, соответствующих данному собственному значению . Проведем такие же рассуждения для каждого из корней характеристического уравнения, в результате получим искомый ортонормированный базис.

Матрицу ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду, можно получить транспонированием матрицы перехода от базиса к базису .

Пример: С помощью ортогонального преобразования привести к каноническому виду: (1)

1. Находим канонический вид квадратичной формы.

а) запишем матрицу квадратичной формы:

б) составим характеристическое уравнение:

Искомым каноническим видом является:

2. Найдем базис, в котором квадратная форма имеет канонический вид.

(3)

а)

Находим какое-либо решение полученной системы: им является вектор . Нормируя его, найдем базисный вектор: .

б) Находим векторы и нового базиса, соответствующие значению . Будем иметь:

(4)

Отсюда видно, что векторы и уже ортогональны вектору . Одно из решений системы (4) можно взять произвольно, если, например, положить , т.е. положим вектор . Нормируя его, получим второй базисный вектор . Теперь найдем вектор , координаты которого удовлетворяют уравнению (4) и который ортогонален вектору . Найдем его координаты, решая систему:

.

Определим какое-либо решение системы:

Нормализуя вектор , получим .

Итак, базис:

3. Находим ортогональное преобразование, приводящее данную форму к каноническому виду.

1. Записываем выражение векторов нового базиса через векторы старого ортонормированного базиса.

Матрица искомого ортогонального преобразования получается при транспонировании матрицы предыдущей системы, следовательно, искомое преобразование примет вид:

.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.