Лекция №15 (II семестр)
Тема: Матрица преобразования координат и её невырожденность. Связь между матрицами одного и того же оператора в разных базисах.
Содержание:
Теорема
7:
Пусть
.
Между
всеми линейными операторами
и
всеми прямоугольными матрицами вида
существует
биективное
соответствие.
Доказательство:
Уже показано, что каждый оператор А из
множества
при фиксированных базисах в линейных
пространствах X
и Y
определяет некоторую матрицу
.
Осталось
показать, что каждой матрице вида
соответствует линейный оператор, и
притом только один. Возьмем произвольную
матрицу
вида
.
При фиксированных базисах соотношения
(2) или (2') ставят в соответствие каждому
вектору
некоторый вектор
.
Легко понять, что это соответствие
является линейным оператором.
,
.
Рассмотрим векторы:
Таким образом, мы показали, что так введенное отображение является линейным оператором, действующим из X в Y. Найдем матрицу этого оператора:
....................................................................
Мы видим, что матрица этого оператора совпадает с матрицей . Т.е., любая матрица вида является матрицей некоторого линейного оператора, действующего из X в Y.
Ясно, что если операторы А и В различны, то различны и соответствующие матрицы.
Переход к новому базису.
Пусть
(1)
и
(2)
– два базиса одного и того же m-мерного
линейного пространства X.
Так как (1) – базис, то по нему можно разложить векторы второго базиса:
(3)
Из
коэффициентов при
составим матрицу:
(4)
– матрица преобразования координат
при переходе от базиса (1) к базису (2).
Пусть
вектор
,
тогда
(5)
и
(6).
(7)
,
Соотношение (7) означает, что
(8)
Матрица Р – невырожденная, так как в противном случае имело бы место линейная зависимость между ее столбцами, а тогда и между векторами .
Верно
и обратное: любая невырожденная матрица
является матрицей преобразования
координат, определяемого формулами
(8). Т.к. Р – невырожденная матрица, то
для нее существует обратная. Умножая
обе части (8) на
,
получим: 
(9).
Пусть
в линейном пространстве X
выбрано 3 базиса:
(10),
(11),
(12).
,
,
Откуда
,
т.е.
(13).
Т.о. при последовательном преобразовании координат матрица результирующего преобразования равна произведению матриц составляющих преобразований.
Пусть
линейный оператор
и пусть в X
выбрана пара базисов:
(I)
и
(II),
и в Y
–
(III)
и
(IV).
Оператору
А в паре базисов I
– III
соответствует равенство:
(14). Этому же оператору в паре базисов
II
– IV
соответствует равенство:
(15).
Т.о. для данного оператора А имеем две
матрицы
и
.
Мы хотим установить зависимость между
ними.
Пусть Р – матрица преобразования координат при переходе от I к III.
Пусть Q – матрица преобразования координат при переходе от II к IV.
Тогда
(16),
(17).
Подставим выражения для
и
из (16) и (17) в (14), получим:
(18)
Сравнивая данное равенство с (15), получим:
(19)
Соотношение
(19) связывает матрицу одного и того же
оператора в разных базисах. В случае,
когда пространства X
и Y
совпадают, роль III
базиса играет I,
а IV
– II-ой,
тогда соотношение (19) принимает вид:
.
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с