Лекция №18 (II семестр)

Тема:Линейная независимость системы собственных векторов, соответствующих попарно различным собственным значениям. Оператор простой структуры и его матрица.

Содержание:

Линейный оператор А, действующий в m-мерном линейном пространстве X называется оператором простой структуры, если он имеет m линейно независимых собственных векторов.

Лемма: Операторы простой структуры, и только они в некотором базисе имеют диагональную матрицу.

Доказательство:

1. Пусть оператор – оператор простой структуры, т.е. , и есть m линейно независимых собственных векторов .

Тогда:

, или, что то же самое, .

2. Если оператор А в некотором базисе имеет диагональную матрицу , то базисные векторы этого базиса являются собственными векторами, соответствующими собственным значениям (не обязательно различным). Т.о. линейный оператор обладает m линейно независимыми собственными векторами, следовательно, он является оператором простой структуры.

Пример: Рассмотрим матрицу

. Выясним, является ли эта матрица матрицей оператора простой структуры.

1. Найдем характеристический многочлен данной матрицы.

= -λ = -λ(-λ³+λ)= λ²(λ²-1)

2. Найдем корни характеристического многочлена. λ₁=0; λ₂=0; λ₃=1; λ₄=-1.

Рассмотрим корень кратности два и найдём размерность подпространства, соответствующего данному собственному числу. Получим матрицу .Эта матрица имеет ранг равный трём, т.к. максимальный ненулевой минор имеет порядок три. Значит размерность собственного подпространства, соответствующего собственному числу 0 равна одному. Т.е. геометрическая кратность собственного числа 0 меньше его алгебраической кратности. Значит не существует базиса из собственных векторов. Отсюда следует, что оператор, имеющий данную матрицу в некотором базисе, не будет оператором простой структуры.

Пример: Рассмотрим матрицу

. Выясним, является ли эта матрица матицей оператора простой структуры.

1. Находим характеристический многочлен данной матрицы.

= -λ - = -λ(-λ³+6λ) – (λ²-6) – - (λ²-6) = (λ²-6)(λ²-1)

2. Приравняем характеристический многочлен к нулю и найдём его корни.

(λ²-6)(λ²-1)=0; λ= ; λ=- ; λ=1; λ=-1.

Т.к. корни разные, то существует базис из векторов, соответствующих этим собственным числам. Значит оператор, имеющий данную матрицу в некотором базисе будет оператором простой структуры и его матрица в базисе из собственных векторов имеет вид:

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №19 (II семестр)

Тема:Характеристический многочлен оператора. Алгебраически замкнутые поля. Основная теорема алгебры.

Содержание:

Характеристический многочлен.

Не всякий линейный оператор имеет по крайней мере один собственный вектор.

Примеры:

1. В качестве линейного пространства X возьмем множество всех многочленов степени меньшей или равной n. Оператор дифференцирования – оператор, действующий из X в X. если только это не константа, если , то . Этот оператор не имеет собственных векторов, отличных от многочленов нулевой степени.

2. Оператор А, действующий в пространстве V₂ – радиус-векторов и осуществляющий поворот на каждого из векторов на некоторый угол, отличный от , против часовой стрелки не имеет собственных векторов.

Займемся исследованием вопроса о существовании собственных векторов оператора.

Прежде всего выведем уравнение, которому удовлетворяют все собственные значения  линейного оператора , .

Пусть  – собственное значение, соответствующее собственному вектору .

Тогда , (1)

По определению, собственный вектор отличен от , тогда из равенства (1) следует, что оператор – вырожден. Т.о. собственные значения оператора А – это те и только те элементы  поля Р, для которых оператор – вырожден.

Пусть – какой-либо базис линейного пространства X. – матрица оператора в этом базисе. Оператор – вырожден тогда, и только тогда, когда вырожденной является матрица , т.е. тогда, когда (2).

В самом деле, известен следующий критерий невырожденности. Оператор А, действующий в некотором линейном пространстве, будет невырожденным, если определитель матрицы этого оператора отличен от 0.

Теорема 10: Числа , удовлетворяющие уравнению (2), не зависят от выбора базиса в линейном пространстве X.

Доказательство: Пусть в X выбран еще один базис – и пусть –матрица линейного оператора в базисе f.

Пусть Q – матрица преобразования координат от базиса e к базису f.

Тогда, как известно, матрицы одного и того же оператора связаны соотношением: , Q – невырожденная матрица, тогда :

Т.о. числа , удовлетворяющие уравнению (2), не зависят от выбора базиса в линейном пространстве X.

Рассмотрим оператор , , и в X задан базис , в котором матрица оператора А выглядит следующим образом: .

является многочленом степени m относительно , т.е. можно записать: .

Легко видеть, что наивысшая степень  достигается только при умножении элементов главной диагонали, откуда видно, что коэффициент при равен 1.

Определение: Функция (3) называется характеристическим многочленом оператора. Таким образом, с каждым линейным оператором А связывается характеристический многочлен. Верно и обратное, что всякий многочлен вида (3) является характеристическим многочленом некоторого оператора.

1. Пусть .

Рассмотрим – эта матрица определяет линейный оператор. Посчитаем .

2. , .

3.

Для того, чтобы элемент  поля Р был собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы он был корнем характеристического многочлена, т.е. удовлетворял уравнению: (4). Уравнение (4) называется характеристическим уравнением. Не в любом поле Р любой многочлен с коэффициентами из Р имеет хотя бы 1 корень.

Пример: в поле R корней не имеет.

Определение: Поле Р называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен с коэффициентами из поля Р имеет хотя бы один корень, принадлежащий этому полю. Т.о., если линейный оператор действует в X над алгебраически замкнутым полем Р, то он имеет хотя бы один собственный вектор.

Теорема : Основная теорема алгебры.

Поле C алгебраически замкнуто, т.е., другими словами, каждый многочлен с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

Следствие: Любой линейный оператор, действующий в комплексном линейном пространстве, имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказательство: По основной теореме алгебры, оператор А имеет хотя бы одно собственное значение , откуда и следует утверждение следствия.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.