Лекция №17 (II семестр)

Тема:Собственные значения и собственные векторы. Собственные подпространства. Примеры.

Содержание:

Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.

Пусть , и . Может оказаться, что векторы и коллинеарные. Число  называется собственным значением, а ненулевой вектор – собственным вектором линейного оператора А, если они связаны соотношением: .

Если вектор является собственным, соответствующим собственному значению , то для любого  – элемента поля Р, , вектор также будет собственным вектором, соответствующим этому собственному значению.

В самом деле, т.к. (т.к. он собственный) и т.к. , то вектор тоже будет отличным от нуля.

Кроме того, .

Если векторы и являются собственными, соответствующими собственному значению , то ненулевой вектор также будет собственным вектором, соответствующим этому собственному значению:

Рассмотрим множество всех собственных векторов, соответствующих собственному значению . Так как нулевого вектора среди них нет, то множество не является подпространством линейного пространства X, но – является. Оно называется собственным подпространством линейного оператора А, соответствующим собственному значению .

Рассмотрим нулевой оператор , тождественный оператор и скалярный оператор .

Собственными векторами этих трех операторов будут все ненулевые векторы линейного пространства X. Эти операторы имеют лишь по одному собственному значению (у нулевого – 0, 1– у второго,  – у третьего). Они имеют лишь по одному собственному подпространству, совпадающему со всем линейным пространством X.

Пример: Пусть . В X выбрано подпространство , тогда , – оператор проектирования.

Оператор проектирования имеет две совокупности собственных векторов.

1) Все векторы из области значений оператора проектирования (т.е. все ненулевые векторы из L)

2) Все векторы из области значения оператора проектирования .

Первой совокупности собственных векторов соответствует собственное значение , а второй – , следовательно, оператор проектирования имеет по крайней мере 2 собственных подпространства. (имея 2 собственных значения).

Теорема 9: Система собственных векторов линейного оператора А, соответствующих попарно различным собственным значениям , линейно независима.

Доказательство: проведем индукцию по числу m векторов системы.

1. Пусть m=1, тогда система состоит из одного собственного вектора , который по определению отличен от нуля, а любой ненулевой вектор образует линейно независимую систему.

2. Пусть утверждение теоремы справедливо для любой системы векторов, содержащей m-1 векторов линейного оператора А, соответствующих попарно различным собственным значениям и доказательство линейной независимости системы проведем от противного.

Предположим, что нашлись элементы поля Р , не все равные 0, такие, что (1).

Не ограничивая общности, будем считать, что . К обеим частям равенства (1) применим оператор А и будем иметь:

(2)

Умножим обе части равенства (1) на и из (2) вычтем полученный результат: .

По индуктивному предположению, система векторов линейно независима, следовательно, все коэффициенты в этой нулевой линейной комбинации равны 0, и в частности, . Но не равно нулю, следовательно, , что противоречит нашему предположению и говорит о том, что теорема справедлива.

Следствие: Любой линейный оператор, действующий в m-мерном линейном пространстве X не сможет иметь более чем m различных собственных значений.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.