Лекция №8 (2 семестр)
Тема: Ранг матрицы. Базисные строки – база векторов – строк. Определитель Грамма и линейная зависимость.
Содержание:
Определение: Дана матрица
.
Пусть
в А выделены строчки с номерами
и столбцы
.
Элементы, стоящие на пересечении
выбранных столбцов и строк образуют
матрицу k-того
порядка. Определитель М этой матрицы
называется минором k-того
порядка. Если в матрице А вычеркнуты
выбранные строки и столбцы, то оставшиеся
элементы образуют матрицу n-k-того
порядка. Определитель
этой матрицы называется дополнительным
минором к минору М.
Определение:
Пусть выбраны строки с номерами
и столбцы с номерами
.
Выражение
называется алгебраическим дополнением
минора М.
Теорема
Лапласа:
Пусть в
квадратной матрице
А выбраны
k
строк с
номерами
,
где
.
Сумма
произведений всевозможных миноров
k-того
порядка, расположенных в выбранных
строках на их алгебраические дополнения
равны определителю матрицы А.
Линейная зависимость и определители.
Пусть дана прямоугольная матрица вида :
.
Если матрица А имеет не только нулевые
элементы, то наивысший порядок отличных
от нуля миноров матрицы А называется
рангом матрицы
(
).
Каждый минор порядка r, отличный от нуля называется базисным минором, а строки и столбцы, захваченные базисным минором, называются базисными.
Теорема: Все базисные строки образуют базу векторов строк матрицы А.
Доказательство: Нужно показать, что базисные строки линейно независимы и любая строка матрицы через них линейно выражается.
1) Линейная независимость.
Базисный
минор расположен на строках с номерами
.
Если бы эти строки были линейно зависимы,
то и части этих строк, входящие в
определитель, также были бы линейно
зависимы, что невыполнимо, так как
базисный минор, по определению, отличен
от 0.
2) Докажем теперь, что любая строка определителя линейно выражается через базисные строки.
Доказательство будем проводить от противного.
Предположим,
что в матрице А нашлась строка, не
принадлежащая к базисным, и не выражающаяся
линейно через них. Пусть эта строка
имеет номер
,
тогда в арифметическом пространстве
n-мерных
векторов нашлись векторы
,
образующие линейно независимую систему.
По теореме о расширении до базиса их
можно дописать векторами
до базиса всего пространства. Из этих
базисных векторов построим матрицу B
и вычислим ее определитель. Так как все
строки, входящие в det
B,
являются базисными det
B
отличен от нуля, но с другой стороны, по
теореме Лапласа, этот определитель
равен сумме произведений всевозможных
миноров порядка
,
расположенных в строках
на их алгебраические дополнения. Но эти
строки являются строками матрицы А и ,
так как ранг матрицы А равен r,
все миноры, расположенные на этих r+1
строках, равны 0, а тогда и сам det
B
равен 0. Полученное противоречие
показывает, что любая строка матрицы А
представляется в виде линейной комбинации
базисных строк. Так как определитель
матрицы А совпадает с определителем
,
теорема справедлива и для системы
векторов столбцов, откуда следует, что
ранг системы векторов столбцов матрицы
А равен рангу системы векторов строк.
Пусть
Е – евклидово пространство,
– система векторов этого пространства.
Рассмотрим
.
Этот определитель называется
определителем Грама
Теорема: Система векторов евклидова пространства Е линейно зависима тогда и только тогда, когда соответствующий ей определитель Грама равен 0.
Доказательство: Пусть система (1) – линейно зависима, тогда найдутся такие действительные числа, не все равные 0, такие, что:
.
Умножим обе части равенства (2) скалярно на :
(3)
Систему (3) можно переписать в виде:
(4)
откуда следует, что система векторов столбцов определителя Грама линейно зависима, следовательно, он равен 0.
Пусть
теперь определитель Грама равен 0. Тогда
система векторов столбцов линейно
зависима, т.е. найдется последовательность
чисел
,
не всех равных 0, такая, что выполнено
условие (4), а тогда справедливо и условие
(3).
Систему равенств (3) можно переписать в виде:
(5)
Умножая
первое равенство системы (5) на
,
второе на
,
... , последнее на 
,
получим:
,
следовательно
, т.е. система векторов (1) линейно зависима.
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.