Лекция №4 (2 семестр)

Тема: Теорема о разложении евклидово пространства в прямую сумму. Длина, углы и расстояния в евклидовом пространстве.

Содержание:

Теорема: Пусть Е – евклидово пространство, а L – произвольное его подпространство. Тогда Е можно представить в виде: .

Доказательство: В подпространствах L и выберем ортонормированные базисы, пусть

(1) – ортонормированный базис L .

(2) – ортонормированный базис .

Рассмотрим (3)

Чтобы убедится в справедливости теоремы, достаточно показать, что система (3) – базис Е.

Система (3) – ортонормированна, и, как и всякая ортогональная система, линейно независима.

Осталось показать, что линейная оболочка векторов системы (3) совпадает со всем евклидовым пространством Е.

Пусть это не так, тогда найдется вектор , а тогда найдется и вектор , ортогональный каждому из векторов системы (3) .

Так как вектор ортогонален ко всем векторам системы (3) то он, в частности, ортогонален всем векторам системы (1), следовательно, он ортогонален ко всему подпространству L, то есть содержится в , так как ортогонален ко всем векторам системы (3) то он, в частности, ортогонален всем векторам системы (2), т.е. он ортогонален ко всему , следовательно, он ортогонален себе , следовательно, . Полученное противоречие показывает, что линейная оболочка векторов системы (3) совпадает с Е и (3) – базис Е.

Пусть в евклидовом пространстве Е зафиксирована система векторов , если ранг этой системы равен размерности евклидова пространства Е и вектор ортогонален ко всем векторам этой системы, то этот вектор – нулевой. Имеет место и обратное утверждение:

Лемма: Если в евклидовом пространстве Е задана некоторая система векторов и единственным вектором, ортогональным ко всем векторам системы, является нулевой, то ранг этой системы равен размерности евклидова пространства Е.

Доказательство: Пусть , , но с другой стороны, ,

Длины, углы и расстояния.

Определение: Пусть Е – евклидово пространство, – произвольное его элемент, тогда длиной вектора называется . У каждого вектора из Е длина существует, причем по аксиоме 4 она положительна для ненулевого вектора и равна нулю для .

Для любого действительного числа  и любого вектора из Е:

Определение: Для векторов и из Е углом между ними называется угол, определяемый соотношением:

Рассмотрим произвольный треугольник в Е. Из теоремы косинусов вытекает, что:

 (1)

В евклидовом пространстве Е длина стороны треугольника не превышает суммы двух длин других его сторон, но не меньше абсолютной величины разности этих сторон.

Определение: Расстоянием  между векторами и из Е называется длина вектора : (2).