Лекция №2 (2 семестр)

Тема: Теорема о существование ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации.

Содержание:

Утверждение: Пусть базис евклидова пространства Е ортонормирован. Тогда для любого вектора существует единственная запись в виде:

(2) , причем .

Доказательство: Рассмотрим скалярное произведение:

Умножая обе части равенства (2) на , получим и т.д.

Пусть – ортонормированный базис и пусть векторы:

Тогда скалярное произведение вычисляется по формуле:

, .

Теорема: В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство: Пусть система (3) – ортонормированна и максимальна в том смысле, что если вектор , то . Докажем, что это базис.

Так как система ортонормированна, то она, в частности, ортогональна, а любая ортогональная система линейно независима.

Осталось показать, что любой вектор евклидова пространства Е является линейной комбинацией векторов системы (3) .

Рассмотрим

..................................................

Мы показали, что , , ... Но система (3) максимальна и единственным вектором с таким свойством является , следовательно, и , то есть

Процесс ортогонализации.

Теорема: Пусть Е – произвольное евклидово пространство, а (1) – некоторая линейно независимая система векторов пространства Е. Тогда существует алгоритм, переводящий систему (1) в ортонормированную систему.

Доказательство:

1) Пусть , ясно, что .

2) Пусть . Ищем таким, чтобы .

, , . Отметим, что

3) Пусть . Коэффициенты и находим из условия, что

.

И также отметим, что .

Продолжая рассуждения, в конце концов найдем, что

,

Нами построена ортогональная система векторов , эквивалентная . Нормируя каждый из векторов , мы получим ортонормированную систему, эквивалентную исходной.

Следствие: Всякое конечномерное евклидово пространство обладает ортонормированным базисом. В самом деле, взяв любой базис Е и применив к нему процесс ортогонализации, получим ортонормированную систему, эквивалентную исходной.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №3 (2 семестр)

Тема: Необходимые и достаточные условия ортогональности вектора и подпространства. Ортогональные и прямые суммы.

Содержание:

Определение: Пусть Е – евклидово пространство, а F и G – любые два его подмножества. Множества F и G называются ортогональными, если каждый элемент множества F ортогонален всем элементам множества G ( ), если элемент X множества М ортогонален этому множеству, то Х – нулевой.

Лемма: Для того, чтобы вектор X из евклидова пространства Е был ортогонален некоторому подпространству L этого пространства, необходимо и достаточно, чтобы он был ортогонален всем векторам базиса подпространства L.

Доказательство:

1) Пусть – тогда он ортогонален всем векторам из L, и, в частности, базисным.

2) Пусть – какой-либо базис L и скалярное произведение . Рассмотрим произвольный вектор , принадлежащий L: его можно представить в виде: , но .

Следствие: Для того, чтобы два подпространства L₁ и L₂ евклидова пространства Е были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы каждый вектор некоторого базиса подпространства L₁ был ортогонален всем векторам какого–либо базиса L₂.

Определение: Пусть дано k подпространств евклидова пространства Е: . Сумма этих подпространств называется ортогональной, если любые два , ортогональны, и обозначается .

Лемма: Ортогональная сумма ненулевых подпространств всегда является их прямой суммой.

Доказательство: Выберем в каждом из по ортонормированному базису:

(1)

Покажем, что (1) является базисом М.

В силу выбора базисов как ортонормированных система (1) ортогональна, следовательно, линейно независима.

Берем любой из М, ( ). – линейная комбинация векторов системы (1). М – прямая сумма подпространств .

Следствие: Пусть евклидово пространство Е является ортогональной суммой своих подпространств и пусть векторы и , . Тогда скалярное произведение определяется по формуле: .

Определение: Пусть F – произвольное непустое подмножество евклидова пространства Е. Обозначим через – ортогональное дополнение множества F, очевидно, что любого непустого множества является подпространством.

В самом деле:

Пусть , .

, следовательно, .

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.