Лекция №7 (2 семестр)
Тема: Действия с матрицами. Определитель n-го порядка и его свойства.
Содержание:
Действия над матрицами. Определители. Линейные уравнения.
Пусть
М – произвольное множество. Под матрицей
размера
мы будем понимать прямоугольную таблицу
A,
составленную из элементов множества
M:
Если m=n, то матрицу A называют квадратной.
Если в М определена операция сложения, то сложение можно определить и на множестве матриц вида :
(1)
Если множество М ассоциативно, то ассоциативным будет и сложение матриц.
Если сложение в М коммутативно, то коммутативным будет и соответствующее множество матриц.
Если в множестве М есть нейтральный элемент 0, то в множестве матриц вида также будет нейтральный элемент.
Если в множестве М для каждого элемента существует противоположный, то и в множестве матриц с введенной операцией сложения существует противоположный.
Таким
образом, если множество
– абелева группа, то множество всех
матриц вида
с операцией сложения, определенной по
формуле (1) также является абелевой
группой.
Пусть на М определена еще операция умножения и М – поле. Тогда для любого числа , принадлежащего М и любой матрицы А вида можно определить умножение матрицы на число.
(2)
Легко проверить, что помимо четырех аксиом абелевой группы, которые выполняются на множестве всех матриц вида , выполняются также следующие свойства:
Относительно введенных операций (1) и (2) множество всех матриц является линейным пространством.
Умножение матриц.
Пусть
даны матрица
вида
и матрица
вида
.
Тогда произведением матриц будет матрица
вида
и обозначаемая
,
где коэффициенты
вычисляются по формулам:
(1строка)
(2
строка)
............................................................................
Умножение матриц вида на матрицы вида не коммутативно.
В
случае, когда для матиц А, В, С имеет
смысл
и
,
то выполняется ассоциативность.
Рассмотрим множество квадратных матриц порядка n. В этом множестве определены операции сложения и умножения. Относительно этих операций множество квадратных матриц образует кольцо.
Пусть
,
.
Сложение и умножение связаны дистрибутивными законами:
Рассмотрим
матричное уравнение
.
Если бы для матрицы А существовала
матрица
,
такая что
,
то умножая слева обе части этого
матричного уравнения на
,
мы бы получили:
Пусть
Х – произвольная квадратная матрица
порядка n,
положим по определению
,
так как умножение
всегда определено, и в результате
получается также матрица порядка n,
то можно говорить о возведении в степень
.
Для
степеней имеет место соотношения:
,
.
В
более общем случае для любых двух
квадратных матриц одного и того же
порядка, если
,
то
.
Рассмотрим
множество всех многочленов всех степеней
с коэффициентами из поля Р. Известно,
что в множестве всех многочленов
определены операции умножения и сложения:
Если
,
,
Тогда
,
,
причем если
,
то
.
,
.
Множество относительно таким образом введенных операций является кольцом.
Пусть
– произвольный многочлен, а А –
произвольная квадратная матрица, тогда
рассмотрим выражение:
(2). Выражение (2) называется матричным
многочленом.
– матрица того же порядка, что и А. Если
любому многочлену
поставить в соответствие матричный
многочлен
,
то получим множество всех матричных
многочленов
,
поскольку
является коммутативным кольцом с
единицей, то и множество
также является коммутативным кольцом
с единицей.
Определители n-го порядка.
Пусть дана матрица
,
причем
.
Определение:
Определителем n-го
порядка
называется алгебраическая сумма n!
слагаемых, каждое из которых является
произведением n
сомножителей, взятых по одному из каждой
строки и каждого столбца матрицы А. Знак
перед слагаемым определяется по правилу
знаков:
Определение:
Пусть
– произвольная перестановка чисел
1,2,3...n.
Говорят, что элементы
и
образуют инверсию (нарушение порядка),
если
,
а
.
Перестановка
чисел 1,2,3...n
называется четной, если число инверсий,
образованных ее элементами, четно, в
противном случае она называется нечетной.
Чтобы определить знак перед слагаемым, нужно расположить сомножители, в него входящие, в порядке возрастания первых индексов и рассмотреть перестановку, образованную вторыми индексами. Если эта перестановка четная, то ставим +, если нечетная, то –.
Определение: Рассмотрим перестановку:
.
Поменяем местами и , получим перестановку:
.
Говорят, что перестановка В получается из А транспозицией элементов и .
Утверждение: Всякая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.
Доказательство: Частный случай: транспозиция соседних элементов меняет четность перестановки.
Все
элементы перестановок А и В, кроме
и
,
образуют одни и те же инверсии. Элемент
с элементами
и
в перестановках А и В образует одни и
те же инверсии. Элемент
с элементами
и
в перестановках А и В образует одни и
те же инверсии. Если элементы
и
в перестановке А не образовывали
инверсии, то в В – образуют, если в А –
образовывали, то в В уже не будут
образовывать. Таким образом, в результате
транспозиции соседних элементов число
инверсий либо увеличилось, либо
уменьшилось на единицу. Четность
поменялась.
Общий
случай. Чтобы совершить транспозицию
двух произвольных элементов перестановки,
будем последовательно переставлять
соседние элементы. Для того, чтобы
поменять местами элементы
и
,
сначала k
раз меняем элемент
с
,
,
,
...,
,
затем
раз меняем
до
.
Таким образом, перестановка совершается
раз. Четность меняется на противоположную.
Утверждение:
Рассмотрим
все перестановки
n
символов
1,2,3,...,n.
Число
четных
перестановок равно числу нечетных
перестановок и равно
.
Доказательство:
Выпишем все четные перестановки
и зададим отображение с нечетными по
правилу:
.
Все
перестановки
являются нечетными согласно предыдущей
теореме.
Указанное
нами отображение является биекцией
множества всех четных перестановок на
множество всех нечетных перестановок,
в самом деле, по указанному правилу
каждой четной перестановке ставится в
соответствие единственная нечетная,
т.е. это отображение, очевидно, инъективно:
.
Указанное отображение сюрьективно, в
самом деле, каждая нечетная перестановка
В является образом той четной перестановки
А, которая получается из В заменой в В
местами первого и второго символов,
следовательно, отображение биективно,
следовательно, число четных перестановок
равно числу нечетных равно
.
Определение: Всякое биективное отображение множества на себя называется подстановкой.
Подстановку,
заданную на множестве 1,2,3,...,n
удобно записывать виде:
или
,
где первая и вторая строчки – подстановки.
Подстановка определяется с точностью до расположения столбцов: если в подстановке поменять местами любые два столбца, то получится та же подстановка.
Определение:
Подстановка
называется четной, если перестановки,
записанные в первой и второй строчках
либо обе четные, либо обе нечетные. В
противном случае подстановка называется
нечетной. Четность подстановки не
изменится, если поменять в ней любые
два столбца, следовательно, число четных
подстановок равно числу нечетных, равно
.
Теперь
правило знаков в определении определителя
можно сформулировать так:
– произведение n
сомножителей, взятых по одному из
различных строчек
и различных столбцов
.
Рассмотрим подстановку
.
Если она четная, то перед слагаемым
ставится знак +,
если нечетная, то –.
Пример:
1)
Пусть дана матрица
,
тогда через
обозначим транспонированную матрицу:
.
Докажем, что определитель
равен определителю А. (
).
Доказательство:
Рассмотрим слагаемое
входящее в det
A.
Элемент а является произведением
сомножителей, принадлежащих разным
строкам и столбцам матрицы А, и,
следовательно, разным строкам и столбцам
матрицы
,
следовательно, каждый элемент
является слагаемым и в
и наоборот. Знак элемента а в определителе
определяется четностью подстановки
,
а в
– четностью подстановки
.
Но эти две подстановки одновременно
либо четные либо нечетные.
2) Если в определителе все элементы какой-либо, скажем i-ой строки равны 0, то этот определитель равен 0.
Доказательство: В самом деле, по определению определителя все элементы нулевой строки будут входить в каждое слагаемое, из которых состоит определитель, следовательно, определитель есть сумма n! нулей.
3) Если в определителе поменять местами i и j строчки, то его значение изменится на противоположный.
В
самом деле, пусть
получена из матрицы а заменой двух
строк:
i
и j.
Все слагаемые вида
входят и в определитель матрицы А и в
определитель матрицы
,
знак перед этим слагаемым определяется
с помощью подстановки:
,
а знак перед этим же слагаемым в
определяется с помощью подстановки
.
Эти подстановки различной четности.
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с