Лекция №25 (II семестр)

Тема: Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Содержание:

Квадратичные формы.

Понятие квадратичной формы.

Определение: Квадратичной формой от переменных называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных.

Переменные можно рассматривать как аффинные координаты точки арифметического пространства Аⁿ или как координаты вектора n-мерного пространства V_n. Будем обозначать квадратичную форму от переменных как .

Пример 1:

1.

2.

Если в квадратичной форме уже выполнено приведение подобных членов, то коэффициенты при обозначаются , а при ( ) – . Т.о., , считается, что . Квадратичную форму можно записать следующим образом:

(1)

Пример 2:

Матрица системы (1):

– называется матрицей квадратичной формы.

Пример: Матрицы квадратичных форм примера 1 имеют вид:

Матрица квадратичной формы примера 2:

Линейные преобразования переменных.

Линейным преобразованием переменных называют такой переход от системы переменных к системе переменных , при котором старые переменные выражаются через новые с помощью форм:

, или

, (2)

где коэффициенты образуют невырожденную матрицу.

Если переменные рассматривать как координаты вектора в евклидовом пространстве относительно некоторого базиса , то линейное преобразование (2) можно рассматривать как переход в этом пространстве к новому базису , относительно которого этот же вектор имеет координаты .

Канонический и нормальный вид квадратичной формы.

В дальнейшем мы будем рассматривать квадратичные формы только с действительными коэффициентами. Будем считать, что и переменные принимают только действительные значения. Если в квадратичной форме (1) переменные подвергнуть линейному преобразованию (2), то получится квадратичная форма от новых переменных . В дальнейшем мы покажем, при надлежащем выборе преобразования (2) квадратичную форму (1) можно привести к виду, содержащему только квадраты новых переменных, т.е. . Такой вид квадратичной формы называется каноническим. Матрица квадратичной формы в таком случае диагональная: .

Если все коэффициенты могут принимать лишь одно из значений: -1,0,1 соответствующий вид называется нормальным.

Пример: Уравнение центральной кривой второго порядка с помощью перехода к новой системе координат

можно привести к виду: , а квадратичная форма в этом случае примет вид:

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Теорема о возможности приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Лемма 1: Если квадратичная форма (1) не содержит квадратов переменных, то с помощью линейного преобразования ее можно привести в форму, содержащую квадрат хотя бы одной переменной.

Доказательство: По условию, квадратичная форма содержит только члены с произведениями переменных. Пусть при каких-либо различных значениях i и j отличен от нуля, т.е. – один из таких членов, входящих в квадратичную форму. Если выполнить линейное преобразование , , а все остальные не менять, т.е. (определитель этого преобразования отличен от нуля), то в квадратичной форме появится даже два члена с квадратами переменных: . Эти слагаемые не могут исчезнуть при приведении подобных членов, т.к. каждый из оставшихся слагаемых содержит хотя бы одну переменную, отличную или от или от .

Пример:

, ,

Лемма 2: Если квадратная форма (1) содержит слагаемое с квадратом переменной, например и еще хотя бы одно слагаемое с переменной , то с помощью линейного преобразования, f можно перевести в форму от переменных , имеющую вид: (2), где g – квадратичная форма, не содержащая переменной .

Доказательство: Выделим в квадратичной форме (1) сумму членов, содержащих : (3) здесь через g₁ обозначена сумма всех слагаемых, не содержащих .

Обозначим

(4), где через обозначена сумма всех слагаемых, не содержащих .

Разделим обе части (4) на и вычтем полученное равенство из (3), после приведения подобных будем иметь:

. Выражение в правой части не содержит переменной и является квадратичной формой от переменных . Обозначим это выражение через g, а коэффициент через , а тогда f будет равно: . Если произвести линейное преобразование: , , определитель которого отличен от нуля, то g будет квадратичной формой от переменных , и квадратичная форма f будет приведена к виду (2). Лемма доказана.

Теорема: Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью преобразования переменных.

Доказательство: Проведем индукцию по числу переменных. Квадратичная форма от имеет вид: , которое уже является каноническим. Предположим, что теорема верна для квадратичной формы от n-1 переменных и докажем, что она верна для квадратично формы от n переменных.

Если f не содержит квадратов переменных, то по лемме 1 ее можно привести к виду, содержащему квадрат хотя бы одной переменной, по лемме 2 полученную квадратичную форму можно представить в виде (2). Т.к. квадратичная форма является зависимой от n-1 переменных , то по индуктивному предположению она может быть приведена к каноническому виду с помощью линейного преобразования этих переменных к переменным , если к формулам этого перехода еще добавить формулу , то мы получим формулы линейного преобразования, которое приводит к каноническому виду квадратичную форму , содержащуюся в равенстве (2). Композиция всех рассматриваемых преобразований переменных является искомым линейным преобразованием, приводящим к каноническому виду квадратичную форму (1).

Если квадратичная форма (1) содержит квадрат какой-либо переменной, то лемму 1 применять не нужно. Приведенный способ называется методом Лагранжа.

От канонического вида , где , можно перейти к нормальному виду, , где , если , и , если , с помощью преобразования:

.

Пример: Привести к каноническому виду методом Лагранжа квадратичную форму:

(1)

Т.к. квадратичная форма f уже содержит квадраты некоторых переменных, то лемму 1 применять не нужно.

(2)

2.

Выделяем члены, содержащие :

(3)

(4)

3. Чтобы получить линейное преобразование, непосредственно приводящее форму f к виду (4), найдем сначала преобразования, обратные преобразованиям (2) и (3).

,

Теперь, с помощью этих преобразований построим их композицию:

Если подставить полученные значения (5) в (1), мы сразу же получим представление квадратичной формы в виде (4).

От канонического вида (4) с помощью преобразования

можно перейти к нормальному виду:

Линейное преобразование, приводящее квадратичную форму (1) к нормальному виду, выражается формулами:

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.