![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Лекция №1 (2 семестр)
- •Лекция №2 (2 семестр)
- •Лекция №3 (2 семестр)
- •Лекция №4 (2 семестр)
- •Лекция №5 (2 семестр)
- •Лекция №6 (2 семестр)
- •Лекция №7 (2 семестр)
- •Лекция №8 (2 семестр)
- •Лекция №9 (2 семестр)
- •Лекция №10 (2 семестр)
- •Лекция №11 (2 семестр)
- •Лекция №12 (II семестр)
- •Лекция №13 (II семестр)
- •Лекция №14 (II семестр)
- •Лекция №15 (II семестр)
- •Лекция №16 (II семестр)
- •Лекция №17 (II семестр)
- •Лекция №18 (II семестр)
- •Лекция №19 (II семестр)
- •Лекция №20 (II семестр)
- •Лекция №21 (II семестр)
- •Лекция №22 (II семестр)
- •Лекция №23 (II семестр)
- •Лекция №24 (II семестр)
- •Лекция №25 (II семестр)
- •Лекция №26 (II семестр)
Лекция №5 (2 семестр)
Тема: Теорема косинусов и Пифагора. Изоморфизм евклидовых пространств. Критерий изоморфности.
Содержание:
В
силу неравенства Коши – Буняковского
.
Пусть , – произвольные векторы пространства Е. Если считать их сторонами треугольника, то естественно считать третьей стороной треугольника вектор . Найдем длину :
- теорема косинусов.
Если
треугольник прямоугольный, то
=0
и мы получаем теорему Пифагора:
.
Изоморфизм евклидовых пространств.
Определение:
Пусть Е и Е` – два евклидовых пространства.
Они называются евклидово изоморфными,
если они изоморфны как линейные
пространства и для любых двух векторов
из и их образов
из Е`:
.
Теорема: Для того, чтобы два евклидовых пространства были евклидово изоморфными, необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковую размерность.
Доказательство:
(необходимость) Пусть пространства Е и Е` – евклидово изоморфны, тогда в соответствии с определением евклидова изоморфизма они изоморфны как линейные пространства, а любые два линейных пространства над одним и тем же полем изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.
(достаточность)
Пусть
.
Выберем
(1)
– ортонормированный базис Е, и пусть
– ортонормированный базис Е`.
Возьмем
произвольный вектор
.
Так как система (1) – базис пространства
Е, то
(3), а образ
будем искать по формуле
(4).
Легко видеть, что построенное нами правило является биективным отображением линейного пространства Е в линейное пространство Е`, более того, оно является изоморфизмом между Е и Е` как линейными пространствами.
Возьмем
произвольные векторы
и
,
а их образы вычислим по формуле (4):
,
.
Определение
изоморфизма содержит требования
равенства скалярных произведений (
,
)
= (T(
),
T(
)),
где Т – линейный изоморфизм. Однако это
преобразование равносильно другому
=|
T(
)|.
Покажем это. Если (x,y) = ( T(x),T(y)), то (x,x) = (T(x), T(x)) |x|2 = | T(x)|2 |x| = | T(x)|. Если |x| = | T(x)|, то |x-y| = | T(x-y)| => |x-y| = | T(x) – T(y)| => |x-y|2 = | T(x) – T(y)|2= > (x-y)2 = ( T(x) – T(y))2 => |x|2 – 2(x,y) + |y|2 = | T(x)|2 – 2( T(x) – T(y))2 + | T(y)|2 => -2(x,y) = -2( T( x), T(y)) т.к. по предположению |x| = | T(x)| => (x,y) = ( T(x), T(y)).
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.
Лекция №6 (2 семестр)
Тема: Наклонная, перпендикуляр и проекция в евклидовом пространстве. Унитарное пространство.
Содержание:
Наклонная, перпендикуляр и проекция в евклидовом пространстве.
Рассмотрим сначала эти понятия в пространстве радиус–векторов, закрепленных в точке О (V3). Пусть дана плоскость L. Выберем на плоскости точку О и рассмотрим множество всех радиус–векторов, закрепленных в этой точке.
Из
некоторой точки М опустим на эту плоскость
перпендикуляр. МL–
основание этого перпендикуляра.
Построение перпендикуляра, опущенного
из точки М на плоскость L
сводится к разложению вектора
в сумму:
(1), где
.
Так как из точки М можно провести только один перпендикуляр, на плоскость L, то такое разложение существует и единственно.
Пусть
теперь Е – произвольное евклидово
пространство, и пусть L
– некоторое его подпространство. Возьмем
произвольный вектор
и представим его в виде суммы:
(2), где
.
Определение:
Вектор
в разложении (2) называется проекцией
вектора
на подпространство L,
вектор
называется перпендикуляром, опущенным
из
на L,
а сам вектор
называется наклонной к подпространству
L.
Заметим
также, что условие
эквивалентно условию
,
а так как евклидово пространство Е
представимо в виде
,
то разложение (2) существует и единственно.
Векторы
и
в разложении (2) ортогональны, и тогда
по теореме Пифагора
,
откуда вытекает, что
,
т.е. длина наклонной не меньше длины
перпендикуляра.
тогда и только тогда, когда
.
Рассмотрим введенное понятия наклонной,
перпендикуляра и проекции с алгебраической
точки зрения:
при фиксированном подпространстве L
любой вектор
евклидова пространства Е однозначно
определяет по отношению к этому
подпространству две своих компоненты,
а именно:
компоненту
,
которая называется проекцией и компоненту
,
называемую перпендикуляром, следовательно,
можно считать, что разложение (2) определяет
две функции
и
.
Аргументами этих функций служат все
векторы из Е, значением функции
является вектор из L,
а значением функции
является вектор, принадлежащий
.
Так
как
,
то проекция вектора
,
а
.
Возьмем произвольные векторы
и
,
принадлежащие Е.
Откуда следует, что
(7)
Аналогично выводятся соответствующие выражения для функции ort:
(8)
Заметим,
что для любого вектора
,
принадлежащего L,
.
Из первого равенства системы (8) следует,
что
,
следовательно, значение функции орт не
меняется, если к аргументу прибавить
любой вектор из подпространства L,
в частности, если взять в качестве
–
,
то получим
,
аналогично
.
Пусть
теперь подпространство L
является ортогональной суммой L1
и L2.
Произвольный вектор
евклидова пространства Е можно представить
в виде:
,
где
,
а
.
Таким
образом,
.
Перпендикуляр,
опущенный из вектора
на подпространство
,
равен одному из выражений
.
Если
,
то
.
Унитарные пространства.
Определение:
Комплексное линейное пространство U
называется унитарным, если любой паре
векторов
из U
поставлено в соответствие комплексное
число
,
называемое скалярным произведением,
причем выполнены следующие аксиомы:
1)
2)
3)
4)
Примером
унитарного пространства может служить
Сn
(арифметическое пространство n-мерных
векторов), если для векторов
и
скалярное произведение выполняется по
формуле:
В унитарном пространстве U, так же, как и в вещественном, вводится понятие длины: .
У любого ненулевого вектора длина больше 0, а длина нулевого вектора равна 0.
Для
произвольного комплексного числа
и любого вектора, принадлежащего U
.
Также, как и в Rn,
в Сn
выполняется
неравенство Коши–Буняковского:
.
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.