Лекция №14 (II семестр)

Тема: Кольцо линейных операторов. Группа невырожденных операторов. Матрица линейного оператора. Связь между линейными операторами и линейными алгебраическими уравнениями.

Содержание:

Кольцо операторов.

Рассмотрим три линейных пространства X, Y, Z над одним и тем же полем Р. Пусть линейный оператор , . Отображение С, действующее из X в Z, называется произведением операторов В и А и обозначается , если   .

Покажем, что отображение С является линейным оператором.

Заметим, что введенная операция умножения не является алгебраической, поскольку произведение операторов определено не для каждой пары, но в случае, когда о произведении операторов говорить имеет смысл, справедливы следующие свойства:

1.

2.

3.

4.

Эти свойства выполняются для и .

Доказательство: Пусть , и поскольку

,

то первое свойство доказано. Аналогично доказываются остальные свойства.

Рассмотрим множество всех линейных операторов, действующих из X в X. Тогда для любых двух операторов, принадлежащих , определена и сумма и произведение. Согласно свойствам 3 и 4, обе эти операции связаны дистрибутивными законами, кроме того, умножение ассоциативно, существует единичный оператор (Е), относительно сложения это множество – абелева группа., следовательно, справедлива теорема.

Теорема : Множество является ассоциативным кольцом с единицей.

Определение: Если для некоторых элементов А и В из множества выполняется , то операторы А и В называются перестановочными, или коммутативными. В частности, единичный оператор перестановочен с любым оператором.

Так как кольцо линейных операторов является также и линейным пространством, то для разности двух линейных операторов справедлива формула:  .

Группа невырожденных операторов.

Определение: Линейный оператор называется невырожденным, если его ядро состоит только из нулевого вектора. В противном случае оператор называется вырожденным.

Примеры:

1. Тождественный оператор является невырожденным.

2. Скалярный оператор при является невырожденным оператором.

3. Произвольный линейный оператор раскладывает . Оператор А порождает новый оператор, . Оператор определяется по такому правилу: на своей области определения он совпадает с оператором А. ( – сужение А на ). – невырожденный оператор.

Для невырожденных операторов дефект равен 0, а так как:

, следовательно, для невырожденных линейных операторов, действующих из X в X, ранг совпадает с размерностью всего пространства X. Если оператор является невырожденным, следовательно, , т.е. любой вектор линейного пространства X является образом некоторого вектора из этого же пространства, т.е. невырожденный оператор всегда является сюръективным отображением.

Важным свойством невырожденного оператора является единственность прообраза для любого вектора . В самом деле, если , то , .

Таким образом, множество невырожденных операторов, принадлежащих – множество изоморфизмов, действующих из X в X.

Рассмотрим , пусть – множество всех невырожденных операторов.

Теорема 5: Множество W является группой по умножению.

Доказательство: Проверим справедливость аксиом группы.

1. Замкнутость. Нужно показать, что произведение двух невырожденных операторов есть невырожденный оператор.

Пусть . Рассмотрим .

2. Ассоциативность уже доказана для любых линейных операторов.

3. Существование нейтрального элемента. Тождественный оператор Е, выполняющий роль единицы относительно операции умножения операторов, очевидно, невырожден.

4. Существование обратного. Пусть , , тогда положим, что . Так как оператор А – изоморфизм, то А – биективное отображение X на X, и, в частности, оно сюрьективно, следовательно, оператор – определен. Так как А – инъективен, то – также является отображением.

Докажем, что – линейный и невырожденный оператор.

Покажем сначала, что :

:

Покажем, что – линейный оператор.

Для

Так как А – невырожденный, то

.

Осталось показать, что – невырожденный.

Рассмотрим . , .

Пусть . Для любого целого положительного числа p можно говорить о степени: . Для любых целых положительных p и q: . По определению будем считать, что .

Пусть А – невырожденный оператор, тогда для любого целого положительного числа r, – тоже невырожденный оператор, а тогда для него существует обратный оператор:

По определению положим, что .

Рассмотрим произвольный невырожденный оператор А и множество . Произведение любых двух элементов из множества является элементом из этого же множества, т.е. это множество замкнуто относительно операции умножения операторов, выполняются все аксиомы группы и эта группа – абелева. Все элементы этой группы являются степенями фиксированного элемента А, поэтому – циклическая группа, порожденная оператором А.

Матрица оператора.

Теорема 6: Пусть X, Y – два линейных пространства над полем Р, , . Пусть далее (1) – базис X, и базисным векторам каким-то образом поставлены в соответствие векторы (2) – из Y. Тогда .

Доказательство: Предположим, что искомый оператор А существует, пусть , тогда единственным образом разложим по базису:

(1)

(2)

Правая часть равенства (2) однозначно определяется вектором и образами базисных векторов. Определим искомый оператор так: пусть дано (1). Положим равное (2). Очевидно, что .

Пусть в линейном пространстве X задан базис , а в Y – , а также задан линейный оператор .

Подействуем оператором А на базисные векторы и найдем разложение образов этих базисных векторов в виде линейной комбинации базисных векторов пространства Y,т.е.

Матрица называется матрицей линейного оператора А в выбранных базисах линейных пространств X и Y.

Пусть вектор , а вектор . Тогда эти векторы можно разложить по соответствующим базисам: , (1).

Сравнивая правую часть этого равенства с разложением (1), получим:

.

(2), (2')

Формулы (2) дают возможность по известным координатам вектора и матрице оператора вычислить координаты вектора , а также обратно, зная координаты вектора и матрицу оператора , решив систему линейных уравнений (2), можно найти координаты вектора . Соотношение (2) устанавливает связь между линейными операторами и системами линейных алгебраических уравнений, в частности, ранг матрицы оператора совпадает с рангом оператора, а размерность ядра совпадает с числом фундаментальных решений приведенной однородной системы уравнений, соответствующей системе (2).

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.