- •Лекция №1 (2 семестр)
- •Лекция №2 (2 семестр)
- •Лекция №3 (2 семестр)
- •Лекция №4 (2 семестр)
- •Лекция №5 (2 семестр)
- •Лекция №6 (2 семестр)
- •Лекция №7 (2 семестр)
- •Лекция №8 (2 семестр)
- •Лекция №9 (2 семестр)
- •Лекция №10 (2 семестр)
- •Лекция №11 (2 семестр)
- •Лекция №12 (II семестр)
- •Лекция №13 (II семестр)
- •Лекция №14 (II семестр)
- •Лекция №15 (II семестр)
- •Лекция №16 (II семестр)
- •Лекция №17 (II семестр)
- •Лекция №18 (II семестр)
- •Лекция №19 (II семестр)
- •Лекция №20 (II семестр)
- •Лекция №21 (II семестр)
- •Лекция №22 (II семестр)
- •Лекция №23 (II семестр)
- •Лекция №24 (II семестр)
- •Лекция №25 (II семестр)
- •Лекция №26 (II семестр)
Лекция №21 (II семестр)
Тема: Прямая сумма оператора и её свойства. Теорема о разложении оператора в прямую сумму с помощью операторного многочлена.
Содержание:
Теорема : Пусть линейный оператор , L – произвольное подпространство линейного пространства X, инвариантное относительно оператора А. Если все собственные значения оператора, индуцированного оператором А на подпространство L являются корнями многочлена , то подпространство L содержится в ядре операторного многочлена для всех достаточно больших k.
Доказательство:
1. Пусть – область значений оператора, индуцированного на подпространство L операторным многочленом , т.е. . Оператор вырожден на подпространстве L, т.к. если – собственный вектор оператора А, принадлежащий L, т.е. , то, по условию, , а тогда, по лемме 3 . Т.о., существуют ненулевые векторы , принадлежащие ядру оператора , а тогда содержится в L, потому что инвариантно относительно оператора А (по лемме 1), и .
2. является подпространством линейного пространства L, если это подпространство нулевое, то доказывать нечего, т.к. в этом случае , а тогда , k=1.
Пусть – ненулевое. Согласно лемме 1, (равное ) является инвариантным относительно оператора . По следствию из основной теоремы алгебры, оператор А, действующий из в имеет, по крайней мере, одно собственное значение , а так как характеристический многочлен индуцированного оператора , является делителем характеристического многочлена порождающего оператора , то , будучи собственным значением последнего, является корнем многочлена , т.е. , а тогда индуцированный оператор , действующий из в , вырожден (по лемме 3) и тогда и . Имеем последовательность:
, где ,
Продолжая рассуждение в том же духе, получим последовательность:
. Так как не может бесконечно уменьшатся с ростом k, то существует k такое, что – нулевое подпространство, а тогда , а тогда это и означает, что .
Теорема 14: Любой линейный оператор А, действующий в m-мерном комплексном пространстве X, имеет по крайней мере одно инвариантное подпространство размерности m-1.
Доказательство: Т.к. линейное пространство X рассматривается над полем комплексных чисел, то по основной теореме алгебры этот линейный оператор имеет по крайней мере один собственный вектор . Пусть этот вектор соответствует собственному значению , т.е. . Рассмотрим операторный многочлен , соответствующий многочлену . По лемме 1, область значений операторного многочлена , которую мы обозначили , является подпространством, инвариантным относительно оператора А. По лемме 3 оператор вырожден, следовательно .
Пусть L – произвольное подпространство линейного пространства X, имеющее размерность и содержащее в себе в качестве подпространства.
Покажем, что пространство L – искомое, т.е., что оно инвариантно относительно А. Рассмотрим произвольный вектор . ( , но с другой стороны, , где L – инвариантно относительно А.
Приведение матрицы оператора к треугольному виду.
Пусть .
Теорема 15: Для произвольного линейного оператора А, действующего в m-мерном линейном пространстве X, существуют инвариантные относительно этого оператора подпространства , размерности соответственно, такие, что .
Доказательство: Существование и очевидно: . По теореме 14, в существует инвариантное относительно оператора А подпространство . Рассмотрим оператор , индуцированный оператором А на подпространство , и к этому оператору опять применим теорему 14, в соответствии с которой этот оператор обладает инвариантным подпространством размерности . Аналогично доказывается существование ... . Теорема доказана.
Матричная интерпретация теоремы 15.
Построим базис линейного пространства X следующим образом: – произвольный ненулевой вектор подпространства L ( ), – любой вектор из , , ...
Построим матрицу оператора в этом базисе:
Матрица называется правой треугольной матрицей.
Следствие: Любая квадратная матрица подобна правой треугольной матрице.
Доказательство: Пусть – произвольная квадрантная матрица вида . Если в пространстве X зафиксирован базис , то матрица является матрицей некоторого линейного оператора А, действующего из X в X. По доказанному выше, в линейном пространстве X существует базис , для которого матрицей оператора А является правая треугольная матрица . и – матрицы одного и того же оператора в разных базисах, которые, как известно, подобны.
Лемма: Если оператор А в некотором базисе имеет треугольную матрицу , то диагональные элементы матрицы совпадают с собственными значениями оператора А с учетом их кратности.
Доказательство:
Прямая сумма операторов.
Пусть . Пусть линейные операторы , а .
Тогда существует единственное разложение: .
Отображение А, определяемое равенством называется прямой суммой операторов В и С. Если одно из подпространств L или М – тривиально, то и прямая сумма в этом случае называется тривиальной.
Свойства прямой суммы операторов.
1. Отображение А, является линейным оператором.
Доказательство: Пусть , и пусть , – любые числа.
Тогда:
2. Единственность представления оператора в виде прямой суммы.
, то есть, – индуцированный оператор А на L.
, то есть, – индуцированный оператор А на М.
3. Пусть А – произвольный оператор, действующий в линейном пространстве X. Если и подпространства L и М – инвариантны относительно оператора А, то оператор А всегда разложим в прямую сумму.
В этом случае характеристический многочлен оператора А равен произведению характеристических многочленов операторов и , индуцированных оператором А на подпространства L и М соответственно.
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.