Лекция №10 (2 семестр)
Тема: Правило Крамера. Обратная матрица.
Содержание:
Правило Крамера.
Если определитель системы отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Пусть d – определитель этой системы.
,
.
Единственное решение этой системы вычисляется по формулам:
Доказательство:
Утверждение: Сумма произведений элементов каждой строки определителя (скажем, i-ой) на алгебраические дополнения элементов какой–либо другой строки (скажем, j-ой) равна нулю.
Доказательство:
Вычислим этот определитель, применяя теорему Лапласа к i-ой строке
(1)
Подставим
вместо
в обе части выражения (1) элементы j-ой
строки, и получим:
Пусть
– алгебраическое дополнение элемента
в определителе d.
Раскладывая определитель d
с индексом
по элементам j-того
столбца, получим:
Подставим
выражения
в какое-нибудь, скажем, k-ое
выражение системы. Будем иметь:
Обратная матрица.
Пусть
А – невырожденная матрица, т.е.
,
тогда существует матрица, обозначаемая
,
такая, что
.
Используя понятие определителя, можно указать явный вид элементов обратной матрицы через миноры матрицы А.
.
Для доказательства достаточно перемножить А и .
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.
Лекция №11 (2 семестр)
Тема: Определитель произведения квадратных матриц.
Содержание:
Определитель произведения квадратных матриц.
Теорема: Определитель произведения квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц.
Доказательство: Пусть
,
.
Рассмотрим
определитель порядка
:
Вычислим
определитель другим способом:
преобразуем его так, чтобы в правом
нижнем углу стояли 0. К
-му
столбцу прибавим первый, умноженный на
,
второй, умноженный на
и т.д., n-й,
умноженный на
.
К
-му
столбцу прибавим первый, умноженный на
,
второй, умноженный на
и т.д., n-й,
умноженный на
и т.д. К столбцу с номером
прибавим первый, умноженный на
,
второй, умноженный на
и т.д., n-ый,
умноженный на
.
Получим определитель:
Преобразуем полученный определитель следующим образом: поменяем местами первую строку с , и т.д., n-ую с -ой. В результате получится определитель:
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.