2.2. Расчётная модель ирисовой пружины

В качестве модели одного упругого элемента ирисовой пружины (рисунок 2.2) примем упругий брус 1, жёстко заделанный одним концом в наружное опорное кольцо 2, а другим в абсолютно жёсткую радиальную балку 3, цилиндрическим шарниром 4, соединенную с осью сейсмоприемника Х, с возможностью перемещаться по этой оси под действием силы F. В данной модели возможность свободного поворота вокруг оси Х отражает свойство упругих элементов при деформации изменять свою проекцию на плоскость ирисовой пружины. Так как упругие элементы в ирисовой пружине симметричны, то поворот упругого подвеса происходит при отсутствии реактивного момента.

Рисунок 2.2 - Расчетная модель упругого элемента ирисовой пружины.

При выборе системы декартовых координат OХУZ так, что ось ОУ перпендикулярна проекции хорды упругого бруса на плоскость ирисовой пружины АВ, ось OZ ей параллельна, раскрытие статической неопределимости упругого бруса требует определения только четырёх реакций в шарнире О. Это сил в направлении осей OУ, OZ – , и моментов вокруг этих осей М_Z, М_y. При этом аналитическое линейное решение будет точным только для малых деформаций.

Нелинейность нагрузочной характеристики обусловлена влиянием боковых реакций, , . В большинстве конструкций ирисовых пружин отношение величины заневоливания к длине дуги упругого элемента не превышает 0,2. В отсутствии боковых усилий согласно [ 56 ] нелинейность (отклонение от линейной зависимости >3 %) начинает проявляться при этом отношении, превышающем 0,3. Следовательно, при небольших величинах заневоливания возможен вывод аналитических формул нагрузочных характеристик на основе выражения для кривизны (2.2).

Несмотря на присутствие некоторой погрешности, аналитические формулы по своим возможностям оптимизировать конструкцию ирисовых пружин обладают преимуществами в сравнении с численными методами. Найдем приближённое аналитическое решение нагрузочной характеристики:

Р = Р (X)..

2.3. Аналитический расчёт нелинейных нагрузочных характеристик ирисовых пружин сейсмоприёмников

Активную силу Р, деформирующую один упругий элемент ирисовой пружины на величину Х удобно представить в виде суммы двух компонент

Р = Р_л + Р_д ; ( 2.3 )

где Р_л – линейная составляющая активной силы по оси Х в отсутствие боковых реакций. При этом предполагается, что шарнир О, оставаясь параллельным первоначальному положению, не встречает ограничений в радиальном направлении при деформации по оси Х. Сила Р_л определяется малоизменяемой геометрией упругого элемента в проекции на плоскость опорных колец и её можно считать пропорциональной перемещению.

Дополнительная сила Р_д определяется радиальной деформацией шарнира О при неизменности его прогиба X и параллельности его оси исходному положению. Она непропорционально меняется в зависимости от положения шарнира О над плоским положением, определяемым размером

Х₁= Х_с – Х (2 . 4)

До плоского положения совпадает с направлением , после плоского

положения противоположна ему.

Для нахождения Р_л(Х) воспользуемся каноническими уравнениями метода сил относительно неизвестных реактивных моментов М_у, М_z.

(2.5)

Коэффициенты системы (2.5) были получены интегрированием по длине бруса перемножаемых эпюр единичных моментов вокруг осей У и Z и эпюры от силы Р_л. Брус можно считать плоском дугой с центральным углом φ₀ и средним радиусом R, что позволяет интегрировать проводить по переменному углу φ (рисунок 2.2). При этом учитывалась минимальная изгибная жёсткость (EJ) упругого элемента вокруг радиальной оси ξ (рисунок.1.2в) и крутильная жесткость (GJ_к ). Где:

Е - модуль Юнга материала;

I = bh³/12 - изгибный момент инерции;

I_к= βbh³ - крутильный момент инерции;

β - малоизменяемый коэффициент, зависящий от отношения b/h (задается таблицей [55]) ;

G=0,5Е/(1+μ);

μ-коэффициент Пуассона (μ=0,3).

Преимущества выбранной системы координат сказались в равенстве нулю коэффициентов и одного корня уравнений (2.5):

δ_1,2 = δ_2,1 = δ_1,p = 0; М_у = 0

Ненулевое решение получает из (2.5) для М_z:

(2.6)

Тогда перемещение Х одного упругого элемента под действием силы Р_л в при отсутствии боковых реакций определится интегралом Мора

(2.7)

Подстановкой (2.6) в (2.7) получаем функцию Х (Р_л) , обращение которой определило искомую функцию Р_л (Х) [57]:

(2.8)

Коэффициент при X в выражении (2.8) есть функция жесткости С_л для линейной нагрузочной характеристики одного упругого элемента, которую можно использовать при расчёте плоского исходного состояния ирисовой пружины при малых статических прогибах (высокочастотные сейсмоприёмники)

(2.9)

Формулы (2.8), (2.9) отличаются от формул для усилия и перемещения плоских аналогичных пружин работы [58] , которые основаны только на учёте изгибной жёсткости (Ebh³ /12). В плоском состоянии ирисовой пружины с концентричными элементами при приложении активной силы в центре реактивный момент обусловлен в основном крутильной жёсткостью (GJ_K). Без учёта крутильной жёсткости формулы для ирисовых пружин не будут точными.

Для нахождения необходимо определить радиальную деформацию ∆ шарнира О, которая появляется из-за несоответствия имеющегося радиуса кривизны упругого элемента в исходном положении ρ₀ потребному радиусу кривизны в деформированном положении ρ. Структура формулы (2.8) показывает, что зависимость нагрузки от перемещения упругого элемента определяется в основном крутильной жёсткостью. Таким образом имеется аналогия с напряжённо-деформированным состоянием винтовой пружины [39], где форма прогиба упругого элемента соответствует линейной зависимости. Поэтому с некоторой точностью форму прогиба упругого элемента ирисовой пружины будем аппроксимировать прямо пропорциональной зависимостью.

На рисунке 2.3 штриховыми линиями показан участок винтовой дуги средней линии упругого элемента ирисовой пружины, нанесенный на образующем цилиндре радиуса R ирисовой пружины. Штриховыми линиями показаны положения упругого элемента в отсутствии боковых сил. Угол наклона упругого элемента в исходном заневоленном состоянии α₀ определится из соотношения

(2.10)

а в промежуточном, деформированном положении

sin α = Х₁ / (Rφ₀ ) (2.11)

Соответственно радиусы кривизны согласно [59,60] будут:

ρ₀=R/cos²α; ρ=R/cos²α (2.12)

Особенностью упругих винтовых элементов является свойство сохранять ортогональным к оси пружины при деформировании главную нормаль и радиус кривизны [39, 59].

На рисунке 2.4 на виде сверху образующего цилиндра показаны: окружность радиуса R ирисовой пружины; окружность радиуса ρ_0, соответствующая приведению упругого элемента из исходного заневоленного состояния в плоское; окружность радиуса ρ, соответствующая приведению упругого элемента из промежуточного положения, определяемого углом α на образующем цилиндре, в плоское положение.

Из рисунка 2.4 видно, что радиальная деформация Δ_h шарнира 0 после приведения в плоское положение из заневоленного

(2.13)

При этом можно полагать, что

(2.14)

Тогда радиальная деформация Δ шарнира О, параллельная оси Ζ в промежуточном положении упругого элемента, определяемом углом α на образующем цилиндре определится :

(2.15) Выражая cosα через sinα с использованием (2.10) и (2.11) преобразуем (2.15) к окончательному виду [60]

(2.16)

Кинематическое соотношение (2.16) позволяет определять в выражении (2.3) в виде

(2.17)

где Δ₁- радиальная деформация по направленно (рисунок 2.4) от единичной силы (N_z=1) приложенной в этом направлении (рисунок 2.З); - реакция по оси X, возникающая от действия единичной силы вдоль . При этом упругий элемент ирисовой пружины рассматривается как статически неопределимый брус с двумя степенями свободы шарнира 0: линейного перемещения вдоль и углового поворота вокруг оси Х. Угол α и соответственно размер Х₁- остаются фиксированными.

Рисунок 2.4 - Радиальное перемещение луча ирисовой пружины в отсутствии боковых сил

Для нахождения четырёх неизвестных реакций , N_у1, М_у1, М_z1, возникающих при действии единичной активной силы по оси Z, была использована система четырех канонических уравнении метода сил.

(2.18)

Коэффициенты этой системы были определены интегралами Mopa от перемножаемых эпюр единичных силовых факторов, соответствующих искомым реакциям и единичной силе по оси Z. Интегрирование проводилось с учётом минимальной изгибной жёсткости (EJ) упругого элемента (рисунок.1.2в), максимальной изгибной жесткости вокруг оси Х₂ (EJ_m) и крутильной жёсткости (G J_K). Здесь:

J_m = hb³/12 (2 . 19)

С целью упрощения выкладок система была решена для наиболее распространенного случая трехлучевых ирисовых пружин: φ ₀ = 1,8 рад. Кроме того, с учётом малоизменяемости коэффициента β было принято:

b/h=8; β=0,31; (GJ_k)/(EJ)=1,4 (2.20)

Решение системы (2.18) дало соотношение между единичной силой по оси Z и вызываемом ею реакцией по оси Х при фиксированном значе­нии Х₁.

(2.21)

Интегрировав упругую линию бруса, получаем формулу для определения перемещения в виде:

(2.22)

Подстановка (2.16), (2.21) и (2.22) в (2.17) позволяет получить формулу для опредения в следующем виде:

(2.23)

Наконец, подстановкой (2.8) и (2,23) в (2.3) была получена искомая функция нелинейной нагрузочной характеристики (2.24) Функция жесткости одного упругого элемента пружин, определяемая производной dP/dx выразится в виде: (2.25)

В плоском положении пружины ( Х = Х_с ), соответствующем минимальному значению жёсткости

(2.26)

Формулы (2.24), (2.25), (2.26) позволяют рассчитывать несущее усилие и жёсткость одного упругого элемента при условии жёсткой заделки на его концах в трехлучевой ирисовой пружине в зависимости от прогиба X, среднего радиуса R, величины заневоливания X_с, крутильной жёсткости (GJ_k) и максимальной изгибной жёсткости (EJ_m).

На рисунке 2.5 штриховыми линиями 1Т и 2T даны теоретические нагрузочные характеристики, рассчитанные по формуле (2.24) для трёхлучевых ирисовых пружин с размерами соответственно:

h=0,125 мм ; Хc=3,3 мм ; Ь=1,25 мм ; R=15.9 мм ; (2.27)

h= 0,13 мм ; Xc=4,5 мм ; Ь=1,25 мм ;

R=15,9мм; (2.28)

Рисунок 2.5 - Расчетные нагрузочные характеристики (штриховые линии) и экспериментальные нагрузочные характеристики (сплошные линии)

Кривые 1т, 1э соответствуют геометрическим размерам: h=0,125мм; X_c=3,3мм; в=1,25мм; R=15,9мм. Кривые 2т, 2э – геометрическим размерам: h=0,13мм; Х_с=4,5мм; в=1,25мм; R=15,3мм.

Материал сплава – «Камелон» (таблица 1.3). В сравнении с соответствующими экспериментальными кривыми (сплошные линии), полученными на электронных весах ВЛЭ 134, теоретические кривые (штриховые линии 1Т и 2Т) дают несколько завышенные значения несущего усилия и уменьшенные значения жёсткости в плоском положении. Это объясняется приближённой аппроксимацией формы упругого элемента, боковым расположением жёстком заделки в реальной конструкции ирисовой пружины и наличием остаточных силовых факторов после термической обработки при заневоливании. Уточнение можно сделать численным подсчётом коэффициентов систем (2.5), (2,18) с учетом влияния указанных факторов и использовании метода последовательных нагружений.

Точность решений (2.22) - (2.26) с увеличением отношений ( ) и падает.

Достоинство полученных формул состоит в воэможности оптимального задания размеров ирисовых пружин.

В плоском (рабочем) положении ирисовой пружины (X=Хс) не­сущее усилие в одном упругом элементе подвеса сейсмоприёмника (две трёхлучевые ирисовые пружины) определится согласно (2.24)

(2.29)

Это отмечено точкой пересечения штрихпунктирной прямой и кривой 1Т на рисунке 2.5. Используем формулу соотношения жесткостей

(2.30)

Подставим (2.29) в соотношение для собственной частоты сейсмоприемника с вертикальной осью

(2.31)

Из (2.31) найдём жёсткость одной ирисовой пружины С , выражение которой совместно с (2.30) подставим в (2.26). Получим равенство:

(2.32)

Для заданной собственной частоты упругого подвеса с учётом накладываемых ограничений на величину R, можно подобрать соотношение размеров и Xc.