1,3), Усилия Ny на конце лопатки (кривая 2) и касательного усилия Тx по вертикальной координате после первого столбца элементов (кривая 4)

Симметрия полученных кривых 1 и 2 для N^y относительно средней лопатки, а также кривой 3 для касательных сил T^y относительно средней точки заделки подтверждает достоверность полученного алгоритма. Суммирование усилий N^y в заделке соответствует общему растягивающему усилию, равному . У края лопатки в заделке растягивающее усилие превышает среднее на 9 %. В заделке у края лопатки касательное усилие превышает составляет 21 % от растягивающего .Интерес представляет распределение касательных сил у края лопатки по ее высоте ( кривая 4) , которая показывает рост их значений у заделки и на свободном конце лопатки. Таким образом, проведенные расчеты показывают корректность определения, как численных значений внутренних сил, так и характера их изменения в пространстве.

Для сравнения отметим, что при такой сетке разбиения согласно методу конечных элементов пришлось бы решать 98 уравнений вместо 24.

5.5. Упругие модели конечных элементов с распределенными жесткостями

Механическая модель конечного элемента, построенная в п.5.1 (рисунок 5.2), позволила интерпретировать обобщенный закон Гука для дискретно- континуальной кристаллической структуры в виде соотношений (5.2) – (5.6).

Повысить точность моделирования можно путем учета угловых деформаций средних линий элемента друг относительно друга и распределения части жесткости пружин, находящихся на средних линиях, на края элемента с последующим дополнительным соединением элементов пружинами.

С этой целью корпус 1 и стержни 2 (рисунок 5.2) удаляются их механической модели. Внутренние концы пружин жесткости С₁ , находящихся на одних и тех же средних линиях соединяются между собой, образуя пружины жесткости меньшей в два раза С₁.

(5.21)

Рисунок 5.5 – Модель элемента разбиения с распределенной жесткостью соединенных упругих связей.

Эта переходная модель представлена на рисунке 5.5. Жесткость пружин АБ, ВС, СД, и ДС оставлен здесь без изменения.

Распределения жесткости произведен за счет установки по краям каждого элемента пружин жесткости которые соединяются с аналогичными пружинами соседних элементов ( рисунок 5.6).

(5.22)

В результате на средних линиях элементов установлены пружины жесткости

(5.23)

Рисунок 5.6 – Усовершенствованная модель элемента разбиения с распределенными жесткостями структурных упругих связей.

Пружины жесткости С представим двумя параллельными пружинами (рисунок 5.6) жесткости

(5.24)

Совокупность таких моделей представляет собой упругую кристаллическую решетку твердого тела (рисунок 5.7). На рисунке 5.8 представлена элементарная ячейка модели кристаллического тела. Как и всякое другое кристаллическое тело, оно обладает некоторой анизотропией свойств. Максимальное отличие коэффициента Пуассона будет иметь место при повороте осей Х , У на 45⁰ ( оси Х₁ и У₁)

(5.25)

При значение . При стыковке зерен металла с различной ориентацией кристаллической решетки упругие свойства металла становится изотропными.

Для математического описания модели в дополнение к внешним силам, действующим на элемент ( рисунок 5.2) введем касательные силы (рисунок 5.6).

Рисунок 5.7 – Вариант соединения моделей элементов разбиения плоского твердого тела.

Вектор силовых факторов, определяющих внутренние перемещения зададим матрицей столбцом

. (5.26)

Рисунок 5.8 – Обозначение внутренних сил в модели элемента разбиения с распределенными жесткостями.

Для определения всей совокупности внутренних перемещений элемента достаточно знать деформации пружин АД, ДС, СБ, ВА, ВД, обозначенные соответственно (рисунок 5.6). Положительные значения деформаций принято считать при растяжении пружин. Таким образом, вектор внутренних перемещений предстанет в виде

. (5.27)

Пять физических уравнений, связывающих вектор силовых факторов (5.26) и вектор перемещений (5.27), определяются из уравнений равновесия при вырезании узлов А ,В, С, Д.

Задача определена напряженно-деформированного состояния твердого тела на основе разработанных механической модели (рисунки 5.2, 5.5 – 5.8) и математической модели (5.21)- (5.27) решается как по методу сил с использованием алгоритмов прогонки, так и по методу перемещений.

Выводы по главе:

Разработан алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния упругого тела в постановке задачи диакоптики. Проведенное исследование больших систем по частям представляет собой реализацию положений метода механической прогонки для общего случая упругого континуума. Подход на основе замены конечных элементов упругими моделями позволяет рассматривать напряженное состояние металлов на уровне величин зерен макроструктуры. Точность расчета можно повысить за счет введения упругих дополнительных связей и упругих моделях и между ними.

Разработанный алгоритм должен послужить фундаментальной подготовкой к использованию многопроцессорных потоковых ЭВМ в расчетах НДС конструкций [145].