Введение

Использование численных методов для решения задач механики ограничено возможностями ЭВМ по объему памяти и быстродействию. Точность полученных результатов во многих случаях остаётся низкой из-за невозможности учитывать всю совокупность факторов влияния. Приведём несколько примеров недостаточной точности расчётного прогнозирования.

В задачах расчёта напряжённо-деформированного состояния и колебаний конструкций форму деформирования задают известными функциями, а не определяют их. Такая предвзятость не позволяет охватить все решения, снижает точность. Этим недостаткам обладает и метод конечных элементов (МКЭ) [1].

В расчётах больших прогибов, устойчивости и колебаний оболочек имеет место несоответствие теоретических данных экспериментальным [2, 3].

Это можно объяснить упрощениями, принятыми при создании расчётных моделей [4, 5] .

При изготовлении приборов точной механики, как, например сейсмоприемников с упругими подвесами на ирисовых пружинах, вынуждено производит индивидуальный подбор упругих элементов с взаимной компенсацией погрешностей упругих характеристик [6, 7, 8]. В данном случае не построена точная математическая модель ирисовых пружин, имеющих нелинейные характеристики. Не выяснены конструктивные и технологические причины, обуславливающие большой разброс параметров при изготовлении.

Решить эти и другие задачи механики представляется возможным посредством численного метода, в котором были бы выполнены следующие пять принципов.

1 Приращения параметров достаточно задавать линейными функциями в зависимости от аргументов. Путем приведения численного метода к алгоритму, аналогичному численному интегрированию площадей, за счёт увеличения дискретизации можно обеспечить заданную точность. Это позволит предельно упростить математические выражения.

2 Форма деформирования должна быть искомым параметром. Предвзятость аппроксимаций необходимо избегать. Например, при расчёте НДС тонкостенных конструкции, форма деформирования внутри элементов разбиения должна определяться из условий силового нагружения, уравнении равновесия, физического закона - обобщённого закона Гука и условий совместности деформаций.

3 Численный метод должен оперировать предпочтительно с механическими параметрами - силовыми факторами, деформациями и их производными, не прибегая к обобщающим функциям, это позволит эффективно использовать специфику механических условий при решении нелинейных задач.

4 Предварительно решить уравнения с ограниченным числом не­известных, записанных для элементов разбиения внутри механической системы, посредством алгоритмизации переноса граничных условии привести задачу к решению систем алгебраических уравнении, в которую входили бы только неизвестные параметры граничных условии. Данный принцип позволит избежать неограниченного роста числа решаемых уравнений.

5. Использовать метод последовательных нагружений в расчётах нелинейного деформирования, учитывая изменение местоположения и ориентации внутренних и внешних силовых факторов на каждом шаге нагружения.

Выполнение этих требований позволит решить ещё одну важную проблему - снизить затраты труда человека на разработку алгоритмов и программ численных методов и их эксплуатацию.

Проанализируем возможности наиболее распространённых в механике численных методов. Метод конечных разностей [1, 9], основанный на замене производных в дифференциальных уравнениях, описывающих механическую задачу, конечными приращениями, наиболее просто поддаётся алгоритмизации. Прогонка [10, 11] , как вариант метода конечных разностей, наиболее полно удовлетворяет перечисленным требованиям. Однако этот метод допускает большие ошибки в случае быстроменяющихся разрешающих функций, требует громоздких вычислений механических параметров при решении нелинейных задач. Затруднена реализация граничных условий.

Вариационно-разностный метод заключается в отыскании минимума энергии, которая записывается в функции перемещений или напряжений и их производных [12] . Производные заменяются конечными разностями. Данный метод по своим возможностям близок к методу конечных разностей.

Метод конечных элементов [13] состоит в расчленении рассматриваемой области на отдельные элементы, выражении перемещений и деформаций в элементе через смещения граничных точек, составление разрешающих уравнений с помощью начала возможных перемещений и определении механических параметров в узлах. В МКЭ гармонично объединяются классические методы расчёта сооружений в единый универсальный метод, построенный на широком использовании матричного ап­парата [14, 15, 16, 17]. Расчётные алгоритмы построены на использо­вании механических параметров без отрыва от специфики механических условий задачи. Это позволяет эффективно решать задачи нелинейного деформирования сложных конструкций при неоднородном нагружении [18, I9]. Осуществляется связь с физической сущностью решаемых задач через принцип минимума энергии деформируемых элементов. В результате при разбиении конструкций на довольно крупные элементы в сравнении с методом конечных разностей достигается достаточная точность.

Отметим основные недостатки МКЭ, которые необходимо устранить для его дальнейшего развития. Поле перемещений или напряжений внутри элементов аппроксимируется произвольно взятыми функциями. Такая предвзятость не позволяет определить все возможные решения задач. Для устранения этого недостатка необходимо следовать принципам механики. А именно: поле деформаций внутри элемента должно определяться силовым полем нагружения, геометрией фигуры и являться искомым параметром. Следующей проблемой МКЭ является необходимость решения системы уравнений, в которую входит совокупность всех неизвестных дискретного разбиения исследуемой конструкции. По этой причине сгущение сетки разбиения ограничено возможностями памяти ЭВМ. Выход ищется в использовании сложных элементов, в которых кроме контурных точек используются и внутренние узловые точки. Неизвестные внутренние перемещения выражаются через перемещения контурных точек. Для этого в системе уравнений производится исключение по Гауссу. Здесь имеется возможность быстрого накопления ошибок из-за деления на малые числа в однотипных уравнениях. Унифицированный системный алгоритм исключения внутренних неизвестных не найден. Необходимо использовать однотипные универсальные элементы. Системность алгоритма можно задать последовательным переносом граничных условий на основе рекуррентных соотношений. Отсюда имеются основания следовать традиционному направлению математики - конечно-элементное разбиение делать предельно простым, элементы должны как можно ближе соответствовать элементарным образцам при испытании материала. Задавая малые приращения параметров, за счет увеличения числа элементов можно обеспечить заданную точность.

Реализовать этот план улучшающих мероприятий возможно с применением метода последовательных нагружений [20, 21]. Поэтому в данной работе необходимо провести исследование по отработке варианта метода последовательных нагружений с учётом предполагаемых упрощений в конечно-элементном разбиении.

Есть возможность следования по более рациональному пути при задании условий совместности деформаций. В МКЭ условия совместности деформаций задаются в виде равенства перемещений элементов в узловых точках, как правило, расположенных в углах элементов. Это усложняет алгоритмизацию МКЭ. Если рассматривать конечный элемент как совокупность абсолютно твердых тел - сечений на краях элемента, соединённых упругими связями с центром элемента, то условия совместности деформаций можно задать равенством перемещений в центре элемента. Данное условие совместности деформаций, названное перекрёстными связями, получило развитие в работах [22,23] .

Наконец следствием перечисленных недостатков является сложность алгоритмизации МКЭ и большая трудоемкость при его реализации на ЭBM. Проведённый обзор работ по использованию МКЭ [24, 25] показал, что не выработан универсальный алгоритм последовательного исключения элементов в дискретной системе разбиения при расчёте конструкций в сравнении с такими методами, как метод начальных параметров [26] и метод прогонки.

В работах Г.Крона предложено исследование сложных систем производить по частям [25, 26]. Такой естественный подход в решении технических задач, названный диакоптикой, успешно применен в расчёте электрических сетей с большим числом элементов. В постановке диакоптики рассмотрены прочностные задачи конструкций. Исследуемая система расчленяется на части. В матричной форме определяются соотношения перехода от одной части к другой. Под влиянием работ Г.Крона формировался МКЭ, где все действия представлены в матричной форме. Однако диакоптика в МКЭ ограничена исключением по Гауссу.

Последний недостаток был бы устранен, если в МКЭ ввести алгоритм переноса граничных условий, аналогично прогонке в методе конечных разностей. Таким образом, проделанный анализ наряду с отмеченными недостатками МКЭ показывает пути их преодоления. Исходя из наличия описанных проблем в области численных методов расчета тонкостенных конструкций, определим следующие цели данной диссертационной работы.

Исследовать экспериментально специфику работы упругих систем с нелинейными нагрузочными характеристиками на примере ирисовых пружин упругих подвесов сейсмоприемников и цилиндрических панелей.

Построить математическую модель ирисовой пружины и получить формулы аналитического расчета упругих нелинейных подвесов сейсмоприемников.

Разработать численный метод расчёта нелинейных ирисовых пружин как частный случай алгоритма переноса граничных условий.

Выработать конструктивно-технологические мероприятия по повышению точности задания характеристик при изготовлении ирисовых пружин.

Создать метод механической прогонки как алгоритм переноса граничных условий, выраженных в механических параметрах, по конечно элементному разбиению при решении двумерных задач пластин и оболочек.

Разработать алгоритм метода механической прогонки для расчёта напряжении и деформаций твердого тела.

По данной теме диссертации автор начал работать под руководством Р.Р. Мавлютова, М.Х. Муллагулова и Л.Д. Рапопорта на кафедре сопротивления материалов Уфимского авиационного института им. Сеpгo Орджоникидзе в 1974 г. В защищённой в 1980г. кандидатской диссертации содержалось исследование по устойчивости корпусных деталей двигателей летательных аппаратов. Научная новизна работы состояла в создании алгоритмов расчёта устойчивости конструктивно анизотропных оболочек и проведении экспериментов на устойчивость с натурными конструкциями при неоднородном тепловом и силовом нагружении. В расчётах применялся численный метод начальных параметров с аппроксимацией форм гармоническими функциями и критерий устойчивости Эйлера [27, 28] . Были разработаны испытательные стенды дискретного нагружения посредством плунжерных пар [29, 30, 31, 32] .

Автор сделал вывод по результатам кандидатской диссертации, что численные методы расчёта на прочность необходимо развивать по пути создания алгоритмов переноса граничных условий, выраженных в механических параметрах. Это позволило бы за счёт использования сэкономленной памяти ЭВМ избавиться от предвзятости аппроксимаций формы деформирования конструкции и тем самым достигать необходимую точность в задачах нелинейного деформирования, устойчивости и динамики. При этом алгоритмы методов переноса граничных условий и последовательных нагружений можно отработать в задачах расчёта нелинейного деформирования стержневых конструкции. Такая работа была выполнена при создании метода расчёта ирисовых пружин сейсмоприёмников на кафедре теоретической механики.

Обзор литературы показал отсутствие до публикации настоящей работы формул расчёта ирисовых пружин, которые бы обеспечивали удовлетворительную точность. Современное сейсмоприборостроение значительную часть приборов выпускает с упругими подвесами на ирисовых пружинах. Годовой выпуск сейсмоприёмников для разведки полезных ископаемых типа СВ-5, CB-10, СB-20 на ПО «Геофизприбор» г.Уфа составлял миллионы штук в год.

При разработке новых сейсмоприёмников, например, на таких известных предприятиях, как «ВНИИГеофизика», Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта г. Москва, интеркорпорации «OYO GEOSPACE.» г. Хьюстон США, определяют геометрию ирисовых пружин с нужными характеристиками посредством экспериментального подбора. Поэтому создание метода расчёта ирисовых пружин имеет важное значение.

Полученные в диссертационной работе расчётные формулы параметров нагрузочных характеристик и результаты их численного расчёта позволили выработать ряд конструктивно-технологических предложений по повышению точности изготовления ирисовых пружин, регулировке и настройке упругих подвесов сейсмоприёмников. Новизна конструктивно-технологических решений защищена восемью авторскими свидетельствами на изобретения.

Успешное использование алгоритма переноса граничных условий совместно с методом последовательных нагружений при расчёте нелинейного деформирования ирисовых пружин, представляющих собой тонкостенные стержни, дало основание для дальнейшего их применения к расчёту оболочек.

Было сформулировано основное положение метода механической прогонки как алгоритма переноса граничных условий применительно к механическим системам вообще. Реализованы алгоритмы в матричной форме и программы ЭBM расчёта нелинейного деформирования пластин и оболочек. Проведённые расчёты нелинейного деформирования показали быструю сходимость и хорошее соответствие с данными экспериментального исследования. Для реализации алгоритма метода механической прогонки в общем случае деформированного твёрдого тела выход был найден в замене конечных элементов упругими эквивалентными моделями. Выполненные расчеты на основе построенных упругих моделей показали, что цель получения нового метода достигнута.

Материал настоящей диссертационной работы изложен в пяти главах и построен по плану перехода от частных случаев к общим.

В первой главе проведено экспериментальное исследование нелинейного деформирования ирисовых пружин и цилиндрических панелей.

Во второй главе дан метод расчёта ирисовых пружин сейсмоприёмников.

В третьей главе приведены рекомендации по улучшению конструктивно-технологических предложений по повышению точности нагрузочных характеристик ирисовых пружин и настройке упругих подвесов сейсмоприемников на заданную частоту.

В четвертой главе разработан метод механической прогонки.

В пятой главе предложена упругая модель элемента, на основе которой метод прогонки реализован для общего случая твердого тела.

Приложение содержит программы расчёта ирисовых пружин сейсмоприёмников и акты внедрения.

На защиту научной и технической новизны докторской диссертации выносятся следующие результаты:

Расчётные формулы параметров нелинейных нагрузочных характеристик ирисовых пружин сейсмоприёмников в зависимости от их геоматерии.

Численный метод расчета ирисовых пружин сейсмоприемников. Методика применения систем автоматизированного проектирования для отработки конструкций ирисовых пружин с нелинейными нагрузочными характеристиками.

Численный метод расчёта ирисовых пружин сейсмоприёмников.

Новые конструкции ирисовых пружин и упругих подвесов сейсмоприёмников.

Метод механической прогонки для расчёта нелинейного деформирования оболочечных конструкций.

Упругие модели конечных элементов и алгоритм метода механической прогонки в расчёте НДС конструкций.