3. Определение безусловного максимума функции нескольких переменных.

3.1. Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация. Линии равного уровня.

(3.1). по вектору , гдеи область допустимых значенийV задана условиями (3.2).

Заметим, что в дальнейшем все области допустимых значений варьируемых переменных, задаваемые только в виде автономных ограничений (3.2) будем обозначать буквой V, а области, где присутствуют ограничения типа связи и (или) функциональные ограничения по-прежнему буквой D.

Таким образом по постановке задачи сразу можно будет отличать задачу на нахождение целевого максимума , от задачи на нахождение безусловного максимума.

Рис. 3.1.

Рассмотрим - функция двух переменных (рис. 3.1). Для ее изображения необходимо трехмерное пространство, что неудобно. Поэтому функцию двух переменных обычно изображают на плоскости варьируемых переменных X₁, X₂ в виде линий равного уровня (рис. 3.2). Координаты X₁ и X₂ любой точки линии равного уровня дадут одно и то же значение целевой функции . Внутри линий равного уровня отображается точка максимумаM. Чем ближе расположена линия равного уровня к точке максимума, тем большему значению целевой функции она соответствует. Так на рисунке 3.1 имеем С₂ > С₁.

Задавая границы иi=1,2 получаем множество допустимых значений варьируемых переменных V в виде прямоугольника (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Если вV имеет единственный max, то функция выпукла, иначе может быть несколько решений (локальных максимумов - точки М₁ и М₂ на рис. 3.3), среди которых необходимо выбрать наибольшее (глобальный максимум).

Методы определения максимума здесь также делятся на аналитические и численные.

Рис. 3.3

2. Аналитический метод решения задачи. Аналитический метод использует необходимое условие max функции нескольких переменных:

Для того чтобы в точке функция, необходимо, чтобы(3.3), для всехi=1,2…n. Для выделения точек максимума необходимо также проверить знаки диагональных миноров матрицы вторых производных (матрицы Гессе).

В общем случае:

(3.4)

Для функции двух переменных:

(3.5)

(3.6)

где - главный определитель матрицы.

В зависимости от знака  возможны три случая:

1.   0 – экстремум отсутствует, точка перегиба,

2.  = 0 – требуется дополнительное исследование,

3.   0 – экстремум есть, причем в случае

0 и  0, это max, а при

0 и  0 – min.

Пример.

Определить максимум функции

;

Откуда ,

0

0 ,

откуда  0, т.е. ,- точкаmax, т.к.  0 и  0.

2. Численные методы решения задачи (методы многомерного поиска).

Численные методы многомерного поиска будем рассматривать на примере нахождения максимума функции двух переменных. Такие функции, как показано выше (раздел 3.1.), изображаются на плоскости в виде линий равного уровня.

Наложение автономных ограничений на переменные приводит к выделению на плоскости области допустимых решенийV в виде прямоугольника(рис. 3.4).

1. Метод направленного перебора.

Данный метод аналогичен методу равномерного поиска для функции одной переменной.

Делим области допустимых значений ина равные отрезки таким образом, чтобы количество отрезков по обеим осям было равно, где- величина допустимой погрешности.. Проведя перпендикуляры к осям во всех выделенных точках, получаем сетку на плоскостиX₁, X₂ с количеством узлов (рис. 3.4). Вычисляем значенияво всех узлах (рис. 3.4.). Сравниваем полученные значения и за решение принимаем координаты узла с наибольшим значением целевой функции.

Рис. 3.4.

Чем меньше шаг сетки, тем точнее результат, но и выше трудоемкость. На практике данный метод применяется только для вычисления глобального максимума невыпуклых функций.

Все остальные применяемые на практике методы, представляют собой итерационные многошаговые процедуры, в которых на каждом шаге расчета должно получаться большее значение целевой функции, чем на предыдущем.

Каждый метод включает в себя:

1. правило перехода от одного шага к другому,

2. правило остановки расчета.

В зависимости от правила перехода численные методы делятся на:

1. методы нулевого порядка, в которых правило перехода требует вычисления только самой целевой функции,

2. методы первого порядка (градиентные методы) в которых требуется вычисление первых частных производных целевой функции,

3. методы второго порядка – требуют вычисления вторых частных производных целевой функции.

Ниже будут рассмотрены только методы нулевого и первого порядков, т.к. в задачах оптимизации с возможными неточностями в исходных данных и с функциями, заданными алгоритмически, характерными для оптимизации технологических процессов, вычисление матрицы вторых производных приводит к значительным ошибкам и методы второго порядка не находят применения.