- •А.В. Михайлов
- •Утверждено
- •Москва 2009
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2 Основные этапы формулировки задачи.
- •1.3 Классификация оптимизационных задач.
- •1.4 Критерий оптимальности.
- •1.5. Условия оптимальности решения.
- •2.1. Постановка задачи. Методы решения оптимизационных задач.
- •2.3. Численные методы решения задачи (методы одномерного поиска).
- •2.3.1. Метод равномерного поиска
- •2.3.2. Метод последовательного равномерного поиска.
- •2.3.3. Метод дихотомии (Метод деления интервала неопределенности пополам)
- •2.3.4 Метод золотого сечения
- •3. Определение безусловного максимума функции нескольких переменных.
- •3.1. Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация. Линии равного уровня.
- •Аналитический метод решения задачи. Аналитический метод использует необходимое условие max функции нескольких переменных:
- •Численные методы решения задачи (методы многомерного поиска).
- •Метод направленного перебора.
- •3.3.2. Методы нулевого порядка.
- •3.3.2.1. Метод Гауса-Зайделя (покоординатного поиска).
- •Пример: Выполнить первый цикл поиска максимума функции:
- •3.3.2.2. Симплекс-метод
- •3.3.3. Численные методы первого порядка (градиентные)
- •3.3.3.2. Метод градиента.
- •3.3.3.3. Метод крутого восхождения.
- •4.1 Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация
- •4.2. Аналитические методы решения задачи
- •4.2.1. Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Теорема Куна-Таккера.
- •4.3. Численные методы решения задачи
- •4.3.1. Метод штрафных функций
- •5. Оптимизация многостадийных процессов
- •5.1. Постановка задачи на примере и ее формализация.
- •5.3. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана.
- •5.4. Задача определения оптимального пути на сетевом графике (графе).
- •6. Линейное программирование.
- •6.1. Постановка задачи линейного программирования и особенности ее решения.
- •7.Определение максимума функционала. (Вариационная задача оптимизации).
- •7.1. Пример постановки вариационной задачи.
- •7.2. Определение безусловного максимума функционала. (Классическая вариационная задача), (задача Эйлера).
- •7.3. Определение условного максимума функционала (неклассическое вариационное исчисление)
- •7.4. Определение условного максимума функционала с ограничениями типа дифференциальных уравнений. Принцип максимума Понтрягина.
- •8.1. Формирование критериев оптимальности.
- •8.2. Способы формирования сводного критерия оптимальности.
- •8.2.1. Свертка частных критериев с весовыми коэффициентами.
- •8.2.2. Использование нормативных критериев.
- •8.2.3. Приближение к идеалу.
- •8.2.4. Справедливый компромисс.
- •8.3. Оптимальность по Парето.
- •9. Типовые постановки задач оптимального управления технологическими процессами
- •9.1. Пуск и остановка единичного агрегата.
- •9.2. Пуск системы взаимосвязанных агрегатов.
- •9.3. Оптимизация статического установившегося режима.
- •9.4. Оптимизация циклического установившегося режима.
- •9.5. Оптимизация режима в аппарате периодического действия.
- •9.6. Календарное планирование работы аппарата
- •9.7 Оптимальный режим работы параллельно включенных агрегатов: распределение нагрузок.
- •9.7.1. Минимизация затрат.
- •9.7.2. Учет вероятностного характера нагрузки.
- •9.7.3. Учёт динамических факторов.
- •9.8. Оптимальный режим работы последовательно включенных агрегатов.
- •9.9. Согласование работы периодически или циклически действующих аппаратов.
1.3 Классификация оптимизационных задач.
Приведем классификацию оптимизационных задач по характеру искомого решения (рис. 1.4). Это задачи о безусловном максимуме функции одной и нескольких переменных, решением их является вектор , гдеX1, X2, …,Хn – значения варьируемых переменных, причем на эти переменные не наложено никаких ограничений, либо наложены автономные ограничения .
Рис. 1.4
Задачи об условном максимуме функций называют задачами математического программирования, в общем случае нелинейного программирования. Их решением также является вектор , причем в этом случае на варьируемые переменныеX1, X2, …,Xn накладываются ограничения типа связи в виде равенств j() 0, j = 1,2,...,m и (или) функциональные ограничения в виде неравенств к() 0, k=1,2,…,r, где j() и к() – функции, которые определяются из условий решаемой оптимизационной задачи. Автономные же ограничения могут как присутствовать, так и отсутствовать.
Важным частным случаем такой задачи является задача линейного программирования, в которой критерий оптимальности и ограничения линейно зависят от варьируемых переменных. Суть задачи оптимизации многостадийных процессов состоит в определении оптимальной стратегии управления, т.е. оптимальной последовательности управляющих воздействий на каждом этапе (стадии) процесса.
Если значения искомых переменных могут принимать лишь целочисленные значения, то задачу называют целочисленной или комбинаторной. Параметром такой задачи может служить задача оптимального планирования грузоперевозок, в которой нужно распределить имеющиеся количество автотранспорта по различным маршрутам.
Наконец, если решением задачи является функция, то задачу называют вариационной или задачей об оптимуме функционала.
1.4 Критерий оптимальности.
В задачах, где переменными являются составляющие некоторого вектора, критерий оптимальности представляет собой функцию нескольких переменных, а в задачах, где искомым решением является функция, критерий оптимальности является функционалом. Функционал представляет собой функцию, аргументом которой является другая функция от независимой переменной, т.е. . Обычно в вариационных задачах функционал выражается в виде определенного интеграла от функции, аргументом которой является время. Целью решения вариационной задачи является нахождение такой подынтегральной конкретной функции, которая обеспечивает оптимум (максимум или минимум) интеграла.
Пусть критерий оптимальности представляет собой функцию одной переменной, которая достигаетmax при X=X0 (Рис. 1.5)
Очевидно, что функция достигает минимума при том жеX=X0, а величина минимума равна по модулю величине максимумаи отличается только знаком, т.е.,.
Рис. 1.5
Из этих соотношений следует, что любую оптимизационную задачу можно сформулировать как определение максимума I или минимума (-I). Причем для изменения формулировки задачи достаточно поменять знаки в критерии оптимальности. Поэтому в дальнейшем при рассмотрении общих принципов решения оптимизационных задач ограничимся лишь задачами на максимум, хотя конкретные примеры возможны и на минимум.
Оптимизационная задача должна иметь единственный критерий.
Если по смыслу задачи имеется несколько показателей, которые хотелось бы улучшить, то возможно:
1. Выбрать наиболее важный в качестве критерия и ограничить остальные некоторыми допустимыми значениями, максимальными или минимальными в зависимости от их смысла.
Например. Определить режим работы, при котором производительность установки максимальна, а себестоимость продукции не превышает допустимого значения.
2. Объединить несколько показателей в единый критерий с соответствующими весовыми коэффициентами.
, где -j-ый показатель, - коэффициент веса, причем
Более подробно второй подход к формулировке оптимизационных задач рассмотрен в разделе 8.
Оптимальным решением называют такой элемент множества допустимых решенийD, для которого критерий принимает max значение, т.е.
, .
Элемент называютmax критерия оптимальности, а величину - значением задачи.
Задачи оптимизации разбиваются на две группы:
1. Задачи об оптимальном решении (аргументные задачи), целью которых является нахождение значения аргумента, обеспечивающего max критерия оптимальности, т.е. нахождения .
2. Задачи об оптимальном значении (критериальные задачи), целью которых является нахождение максимума критерия оптимальности, т.е. нахождения .
Различие между данными задачами появляется тогда, когда условия задачи заданы приближенно и существуют неточности при численном решении.
Оптимизационная задача имеет решение, если:
Критерий I определен на множестве D, т.е. каждому соответствует единственное значение критерия.
Значение критерия I при ограничено сверху.
Множество допустимых значений D должно содержать больше одного элемента.
Простейшим решением множества D в случае целевой функции одной переменной является множество рациональных чисел, которые геометрически можно представить как точки, составляющие отрезок цифровой оси.
Рис. 1.6
Если точка X0, претендующая на максимум, находится внутри D, то для нее допустимы вариации Х любого знака. Для граничных точек X0= X* и X0= X* знак вариации определен: для верхней точки Х0, для нижней Х0, т.к. при противоположных знаках значение X выйдет из области допустимых значений D (рис. 1.6).