1.2 Основные этапы формулировки задачи.

Правильной постановке оптимизационной задачи способствует использование стандартной последовательности основных этапов формализации.

1-й — словесная постановка задачи,

2-й — введение обозначений для варьируемых переменных (желательно с указанием их размерности),

3-й — запись в принятых обозначениях критерия оптимальности, как функции от варьируемых переменных,

4-й — выделение множества допустимых значений варьируемых переменных D,

5-й – замена физических значений варьируемых переменных на математические . В этом случае обозначение критерия оптимальности I заменяется на обозначение целевой функции , как было указано выше. Естественно, смысл и условия оптимизационной задачи при этом никоим образом не меняется. Пятый этап не является обязательным при постановке задачи и может не проводиться.

Проиллюстрируем изложенную выше последовательность постановки задач на примерах.

Пример 1. Выбор оптимального расположения узла при прокладке трасс.

Словесная постановка. Задано расположение нескольких потребителей сырья. Требуется так выбрать расположение промежуточной емкости, из которой снабжают всех потребителей, чтобы суммарная длина трубопроводов была минимальной, (рис. 1.1).

В

Рис. 1.1

ведение обозначений для переменных. Обозначим через координаты емкости на плоскости, а через- координатыi-того потребителя. Расстояние от емкости до i-го потребителя выразим как .

Критерий оптимальности  min.

Множество допустимых решений D: в данном случае все действительные значения переменных .

Заметим, что здесь и в дальнейшем искомое решение, т.е. значения варьируемых переменных, претендующие на максимум, будем обозначать через , гдеn - количество варьируемых переменных в данной задаче.

₁

_i

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Пример 2. Выбор оптимальных размеров цилиндрической емкости.

Словесная постановка. Выбрать длину образующей и диаметр днища цилиндра, таким образом, чтобы при заданном объеме, общая длина сварных швов оказалась минимальной (рис.1.2).

Обозначения для переменных. l и d – длина образующей и диаметр цилиндра, V_зад –заданный объем цилиндра.

Критерий оптимальности: общая длина сварных швов

min.

Множество допустимых решений:

D =

Замена переменных:

X₁=d, X₂=l,

(X)=2 π X₁+X₂→min,

Пример 3. Распределение нагрузок между параллельно включенными агрегатами.

Рис. 1.3

Словесная постановка. Заданную нагрузку по сырью, т. е. имеющийся в наличии запас сырья, распределить между параллельно включенными агрегатами так, чтобы общая производительность была максимальной.

О

рис1.3

бозначения для переменных. - потребление сырья i-м агрегатом, - его производительность. Зависимость производительности аппарата от нагрузки называют нагрузочной характеристикой. Типичный вид нагрузочной характеристики представлен на рис. 1.3.

Критерий оптимальности – суммарная производительность:  max,

где n-количество агрегатов.

Множество допустимых решений: задание максимально допустимой нагрузки для каждого агрегата S_i^* и суммарной нагрузки по сырью, т.е. количества распределяемого сырья S_зад, приводят к ограничениям:

D =