4.3. Численные методы решения задачи

При решении задача (4.1.) – (4.4) должна быть преобразована в задачу безусловной оптимизации, к которой можно применить различные методы многомерного поиска: покоординатного спуска, градиента, симплекс и т.д.

4.3.1. Метод штрафных функций

Перевод задачи (4.1.) – (4.4.) к задаче безусловной оптимизации осуществляется введением в целевую функцию дополнительных слагаемых, которые «штрафуют» за нарушение любого из условий (4.3.) или (4.4.), т.е. осуществляется переход к новой целевой функции вида:

(4.25)

Функция Ш выбирается так, чтобы она была равна нулю, если соответствующее ей ограничение или, выполняется и много больше нуля, если не выполняется.

Исходя из этого, обычно выбирают:

(4.26)

(4.27)

(4.28)

(4.29)

Таким образом, при поиске безусловного максимума значение этой функции будет возрастать до тех пор, пока при расчетах используются значения варьируемых переменных, обеспечивающие выполнение всех ограничений типа связи и функциональных ограничений, накладываемых на исходную целевую функцию, а как только значениявыйдут из области допустимых значений D, значение функциирезко уменьшиться, т.е. поиск безусловного максимума функциивсегда будет проводиться в области, т.е. соответствовать поиску условного максимума целевой функции.

Для обеспечения выполнения условия (4.27) и (4.29) необходимо выбирать α = const >>1. Решение задачи (4.25) точно совпадает с решением исходной задачи (4. 1) – (4.4.) только при α → ∞. Практическая точность зависит от величины коэффициентов α и увеличивается с их ростом. Однако введение штрафных функций вызывает деформацию линий равного уровня целевой функции. На ее поверхности образуются гребни и овраги, что затрудняет численную процедуру поиска (см. раздел 3.3.2.1.).

Крутизна гребней и оврагов возрастает с увеличением α, поэтому целесообразно решение искать в несколько этапов.

Вначале, принимают α (0) - малым и находят решение (α(0)), которое значительно отличается от истинного. Полученный результат принимается за начальное приближение для следующего этапа расчета при α(1) > α(0), в результате получается значение (α(1)), более близкое к истинному и т.д. Таким образом, поиск на каждом этапе происходит в окрестности решения, где овражность сказывается меньше.

Расчет заканчивается, когда

где N – число этапов расчета.,

- заданная допустимая погрешность расчета переменной Х_i,

n – количество варьируемых переменных целевой функции.

5. Оптимизация многостадийных процессов

5.1. Постановка задачи на примере и ее формализация.

Рассмотрим технологическую схему получения ректифицированного спирта, представленную на рис. 5.1.

Рис 5.1.

С₀, С₁, С₂,С₃ - концентрации спирта;

G₁, G₂, G₃ - расходы пара;

C₁= F₁ (C₀, G₁); C₂= F₂ (C₁,G₂); C₃= F₃ (C₂,G₃);

где F₁, F₂, F₃ функции, связывающие выход и вход на каждой стадии ректификации.

Необходимо минимизировать расход пара, т.е. найти такие

G₁⁰,G₂⁰,G₃⁰, при которых

→min

Учитывая, что argmax f₀(X) = argmin (-f₀(X)), (см. раздел 1.4.), получаем оптимизационную задачу для многостадийного процесса.

-→

G_i* ≤ G_i ≤ G_i ^* i = 1, 2, 3

D= C_i - F_i (C _i-1, G_i) = 0

C₃ ≥ C_зад

Формализуя данную задачу для процесса из n стадий, получаем структурную схему, представленную на рис. 5.2. , для каждого элемента которой выполняется условие X_i = f_i(X_i-1, U_i) и формируется целевая функция f_0i (X_i, U_i) (в примере G_i).

Рис. 5.2

Где, - переменные состояния ( в примереC_i )

- переменные управления (в примере G_i)

Для всего процесса получаем:

I = () →, (5.1.)

^{где n – количество стадий (этапов) процессов.}

(5.2)

(5.3)

(5.4)

^{Последовательность управлений U}₁^{, U}₂^…U_n ^{(см. рис. 5.2) называется стратегией управления.}

^{Оптимизация многостадийных процессов сводится к отысканию оптимальной стратегии управления, которая обеспечит перевод процесса из заданного начального состояния X}₀ ^{в заданное конечное состояние X}_n ^{с минимальными затратами на управление.}

5.2. Решение задачи методом неопределенных множителей Лагранжа.

Оптимизационная задача (5.1.) – (5.4.) представляет собой задачу определения условного max с автономными ограничениями (5.3), (5.4) и ограничениями типа связи (5.2). Как известно (см. раздел 4.2.1.) такая задача может быть решена методом неопределенных множителей Лагранжа:

(X_i, U_i)+

^{Необходимые условия оптимальности}

^(5.6.)

_D= ^(5.7.)

₌ ^X_i ^{- f}_i ^(X _i-1 ^{, U}_i^{) = 0 (5.8.)}

^{Поясним вывод выражения (5.6.). Например, для n = 2 имеем:}

^{L = f}₀₁ ^(X₁^U₁^{) + f}₀₂^(X₂ ^U₂^{) +} λ₁ ^(X₁ ^{- f}₁ ^(X₀^U₁^{)) +} λ₂ ^(X₂ ^{– f}₂ ^(X₁ ^U₂⁾⁾

Произведя замену для случая стадий, получаем выражение (5.6), которое^{является рекуррентной формулой для расчета} λ _i. ^через λ_i+1.

^(5.9.)

^{Для его использования задается граничное условие. Очевидно, что после окончания процесса}

λ _n+1 = 0 (5.10.)

^{Пример:}

Из условия примера следует:

Вычисляем значения частных производных, содержащихся в правой части выражения (5.9.).

для =1, 2, 3

^{Составляем функцию Лагранжа аналогично (5.5.):}

(X_i, U_i)+

^{Из выражения (5.10) для случая n=3 имеем:}

^λ_n+1 ^{= λ}₄ ^{= 0}

^{По выражению (5.9) вычисляем λ}_i ^{(i=1,2,3), используя значения частных производных, вычисленные выше}

^λ₂ ^{= λ}₃ ^{ּ 1 - 1 = (-1) ּ 1 - 1 = - 2}

^λ₁ ^{= (- 2) ּ 1 – 1 = - 3}

^{Проверяем выполняемость условия (5.7)}

^{Так как производные , (i=1,2, 3) больше нуля, то необходимое условие оптимальности (5.7) может быть выполнено только при ∆U}_i ^{< 0, т.е. при верхнем граничном значении управления (см. раздел 1.4.), следовательно, U}₁^0=U₂^0=U₃^0=1.

^{Зная оптимальные значения переменных управления} ,^{(i=1,2, 3), рассчитываем оптимальные значения переменных состояния X}_i^{0 по уравнению связи (5.8).}

^X₁^{0 = X}₀ ^{+ 2U}₁ ^{= 1 + 2 · 1 = 3}

^X₂^{0 = 3 + 2 · 1 = 5}

^X₃^{0 = 5 + 2 · 1 = 7}

^{Вычисляем максимальное значение критерия оптимальности}

^{= (3 – 1) + (5 – 1) + (7 – 1) = 12}

^{Задача решена.}