- •А.В. Михайлов
- •Утверждено
- •Москва 2009
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2 Основные этапы формулировки задачи.
- •1.3 Классификация оптимизационных задач.
- •1.4 Критерий оптимальности.
- •1.5. Условия оптимальности решения.
- •2.1. Постановка задачи. Методы решения оптимизационных задач.
- •2.3. Численные методы решения задачи (методы одномерного поиска).
- •2.3.1. Метод равномерного поиска
- •2.3.2. Метод последовательного равномерного поиска.
- •2.3.3. Метод дихотомии (Метод деления интервала неопределенности пополам)
- •2.3.4 Метод золотого сечения
- •3. Определение безусловного максимума функции нескольких переменных.
- •3.1. Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация. Линии равного уровня.
- •Аналитический метод решения задачи. Аналитический метод использует необходимое условие max функции нескольких переменных:
- •Численные методы решения задачи (методы многомерного поиска).
- •Метод направленного перебора.
- •3.3.2. Методы нулевого порядка.
- •3.3.2.1. Метод Гауса-Зайделя (покоординатного поиска).
- •Пример: Выполнить первый цикл поиска максимума функции:
- •3.3.2.2. Симплекс-метод
- •3.3.3. Численные методы первого порядка (градиентные)
- •3.3.3.2. Метод градиента.
- •3.3.3.3. Метод крутого восхождения.
- •4.1 Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация
- •4.2. Аналитические методы решения задачи
- •4.2.1. Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Теорема Куна-Таккера.
- •4.3. Численные методы решения задачи
- •4.3.1. Метод штрафных функций
- •5. Оптимизация многостадийных процессов
- •5.1. Постановка задачи на примере и ее формализация.
- •5.3. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана.
- •5.4. Задача определения оптимального пути на сетевом графике (графе).
- •6. Линейное программирование.
- •6.1. Постановка задачи линейного программирования и особенности ее решения.
- •7.Определение максимума функционала. (Вариационная задача оптимизации).
- •7.1. Пример постановки вариационной задачи.
- •7.2. Определение безусловного максимума функционала. (Классическая вариационная задача), (задача Эйлера).
- •7.3. Определение условного максимума функционала (неклассическое вариационное исчисление)
- •7.4. Определение условного максимума функционала с ограничениями типа дифференциальных уравнений. Принцип максимума Понтрягина.
- •8.1. Формирование критериев оптимальности.
- •8.2. Способы формирования сводного критерия оптимальности.
- •8.2.1. Свертка частных критериев с весовыми коэффициентами.
- •8.2.2. Использование нормативных критериев.
- •8.2.3. Приближение к идеалу.
- •8.2.4. Справедливый компромисс.
- •8.3. Оптимальность по Парето.
- •9. Типовые постановки задач оптимального управления технологическими процессами
- •9.1. Пуск и остановка единичного агрегата.
- •9.2. Пуск системы взаимосвязанных агрегатов.
- •9.3. Оптимизация статического установившегося режима.
- •9.4. Оптимизация циклического установившегося режима.
- •9.5. Оптимизация режима в аппарате периодического действия.
- •9.6. Календарное планирование работы аппарата
- •9.7 Оптимальный режим работы параллельно включенных агрегатов: распределение нагрузок.
- •9.7.1. Минимизация затрат.
- •9.7.2. Учет вероятностного характера нагрузки.
- •9.7.3. Учёт динамических факторов.
- •9.8. Оптимальный режим работы последовательно включенных агрегатов.
- •9.9. Согласование работы периодически или циклически действующих аппаратов.
3.3.3.3. Метод крутого восхождения.
Метод крутого восхождения отличается от метода градиента правилом определения коэффициента шага γ.
Он должен быть таким, чтобы f0 достигала max по направлению градиента при данном значении γ, т.е.
=arg max (3.12).
где k= 1,2,3…- номер шага поиска
Поясним это требование на примере рис.3.8. Помня о том, что чем ближе сомкнуты линии равного уровня к максимуму тем большему значению целевой функции они соответствуют, можно сделать вывод, что целевая функция при движению по градиенту из точки A, будет возрастать примерно до точки С, а при дальнейшем движении начнет уменьшаться.
Таким образом в методе крутого восхождения ставится задача расчета такой величины коэффициента шага , чтобы за один шаг попасть из точки А в точку С.
Пример:
Для f0() = -X12 + X1 X2 - X22 + X1 выполнить один шаг поиска максимума из начальной точки (0) с координатамиX1(0)=5, X2(0)=2, методом градиента и методом крутого восхождения
Метод градиента:
Рассчитываем проекции вектора градиента в начальной точке
а1(0) = = (-2X1+X2+1)= -2 • 5 + 2 + 1 = -7
а2(0) = = (X1-2X2) = 5 – 2 • 2 = 1
Выбираем для первого шага γ1=0,3
Рассчитываем координаты точки (1) после первого шага по выражению (3.8)
X1(1) = X1(0) + γ1 a1(0) = 5 + 0,3 • (-7) = 2,9
X2(1) = X2(0) + γ1 a2 (0) = 2 + 0,3 • 1 = 2,3.
Определяем проекции вектора градиента в точке (1)
а1(1) = = -2 • 2,9 + 2,3 + 1 = -2,5
а2(1) = = 2,9 – 2 • 2,3 = -1,7
Вычисляем модули градиента в точках (1) и(0)
Определяем cos α
сos α==
Условие (3.10) не выполняется, необходимо уменьшить шаг. Выбираем γ1=0,2 и пересчитываем.
Поскольку проекции вектора градиента а1(0)=-7 и а2(0)=1 в исходной точке остались теми же самыми, сразу определяем координаты первой точки, т. е. повторяем пункт 3 расчета при значении γ1=0,2.
(1)=5+0,2*(-7)=3,6
(1)=2+0,2*1=2,2
Определяем проекции вектора градиента в точке (1), аналогично пункту 4
а1(1)=-2*3,6+2,2+2=-4
а2(1)=3,6-2*2,2=-0,8
Вычисляем модуль градиента в точке (1) и пересчитываем значениеcos α, аналогично пунктам 5 и 6.
сos α=
Условие (3.10) выполнено, следовательно, для первого шага выбираем коэффициент γ1=0,2.
Рассчитываем значения целевой функции в нулевой и первой точках.
Значение целевой функции после первого шага возросло, следовательно, расчет сделан правильно.
Метод крутого восхождения.
По выражению (3.8) определяем координаты первой точки (1) как функции от коэффициента шага γ1, используя значения проекций вектора градиента, рассчитанных выше.
(1)= (0)+γ1a1(0)=5+ γ1*(-7)=5-7 γ1
(1)= (0)+γ1a2(0)=2+ γ1*1=2+ γ1
Подставляем полученные выражения(1) , (1) в . Необходимо, чтобы полученное выражение достигалоmax по γ1 .
(γ1)=-(5-7γ1)2+(5-7γ1)(2+γ1)-(2+γ1)2+(5-7γ1)→max
Для этого производная должна быть равна нулю.
=-2(5-7 γ1)*(-7)+(-7)(2+ γ1)+(5-7 γ1)-2(2+ γ1)+(-7)=0
Отсюда γ1=0,44.
По выражению (3.8) определяем координаты первой точки (1)
(1)=5-0,44*7=1,93
(1)=2+0,44*1=2,44
Вычисляем значение целевой функции в точке (1) и сравниваем его со значением в точке(0), вычисленным ранее.
>
Сравнивая значения целевой функции после первого шага вычислений двумя рассмотренными методами
а также объем вычислений на этом шаге, приходим к выводу о большей эффективности метода крутого восхождения.
4. Определение условного максимума функции нескольких переменных.
Методы нелинейного программирования