- •А.В. Михайлов
- •Утверждено
- •Москва 2009
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2 Основные этапы формулировки задачи.
- •1.3 Классификация оптимизационных задач.
- •1.4 Критерий оптимальности.
- •1.5. Условия оптимальности решения.
- •2.1. Постановка задачи. Методы решения оптимизационных задач.
- •2.3. Численные методы решения задачи (методы одномерного поиска).
- •2.3.1. Метод равномерного поиска
- •2.3.2. Метод последовательного равномерного поиска.
- •2.3.3. Метод дихотомии (Метод деления интервала неопределенности пополам)
- •2.3.4 Метод золотого сечения
- •3. Определение безусловного максимума функции нескольких переменных.
- •3.1. Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация. Линии равного уровня.
- •Аналитический метод решения задачи. Аналитический метод использует необходимое условие max функции нескольких переменных:
- •Численные методы решения задачи (методы многомерного поиска).
- •Метод направленного перебора.
- •3.3.2. Методы нулевого порядка.
- •3.3.2.1. Метод Гауса-Зайделя (покоординатного поиска).
- •Пример: Выполнить первый цикл поиска максимума функции:
- •3.3.2.2. Симплекс-метод
- •3.3.3. Численные методы первого порядка (градиентные)
- •3.3.3.2. Метод градиента.
- •3.3.3.3. Метод крутого восхождения.
- •4.1 Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация
- •4.2. Аналитические методы решения задачи
- •4.2.1. Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Теорема Куна-Таккера.
- •4.3. Численные методы решения задачи
- •4.3.1. Метод штрафных функций
- •5. Оптимизация многостадийных процессов
- •5.1. Постановка задачи на примере и ее формализация.
- •5.3. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана.
- •5.4. Задача определения оптимального пути на сетевом графике (графе).
- •6. Линейное программирование.
- •6.1. Постановка задачи линейного программирования и особенности ее решения.
- •7.Определение максимума функционала. (Вариационная задача оптимизации).
- •7.1. Пример постановки вариационной задачи.
- •7.2. Определение безусловного максимума функционала. (Классическая вариационная задача), (задача Эйлера).
- •7.3. Определение условного максимума функционала (неклассическое вариационное исчисление)
- •7.4. Определение условного максимума функционала с ограничениями типа дифференциальных уравнений. Принцип максимума Понтрягина.
- •8.1. Формирование критериев оптимальности.
- •8.2. Способы формирования сводного критерия оптимальности.
- •8.2.1. Свертка частных критериев с весовыми коэффициентами.
- •8.2.2. Использование нормативных критериев.
- •8.2.3. Приближение к идеалу.
- •8.2.4. Справедливый компромисс.
- •8.3. Оптимальность по Парето.
- •9. Типовые постановки задач оптимального управления технологическими процессами
- •9.1. Пуск и остановка единичного агрегата.
- •9.2. Пуск системы взаимосвязанных агрегатов.
- •9.3. Оптимизация статического установившегося режима.
- •9.4. Оптимизация циклического установившегося режима.
- •9.5. Оптимизация режима в аппарате периодического действия.
- •9.6. Календарное планирование работы аппарата
- •9.7 Оптимальный режим работы параллельно включенных агрегатов: распределение нагрузок.
- •9.7.1. Минимизация затрат.
- •9.7.2. Учет вероятностного характера нагрузки.
- •9.7.3. Учёт динамических факторов.
- •9.8. Оптимальный режим работы последовательно включенных агрегатов.
- •9.9. Согласование работы периодически или циклически действующих аппаратов.
9.8. Оптимальный режим работы последовательно включенных агрегатов.
Возможная словесная постановка задачи: требуется выбрать режим последовательно соединённых агрегатов так, чтобы при заданной общей производительности и заданных характеристиках конечного продукта затраты на его получение были минимальны.
Введём обозначения:
Xi, Xi + 1 – параметры продукта на входе и выходе i-го агрегата,
Ui – режимные переменные i-го аппарата, являющиеся управляющими воздействиями.
0i ( Xi,Ui ) – затраты каждого i-го агрегата на получение продукта.
Тогда критерий оптимальности
I= min (9.24)
На переменные наложены автономные ограничения
Xi Vxi Ui Vui i = 1,2,…, n
и ограничения, связывающие состав продукта на выходе каждого агрегата с составом на входе и режимными переменными.
X(i+1)υ=f0(Xi, Ui, i), где i=1, 2…n, υ=1, 2…m (9.25)
Где n – количество последовательно включенных агрегатов, m - количество параметров, характеризующих состояния продукта.
Таким образом, в левой части равенств (9. 25) фигурирует -ая составляющая вектора Xi+1, а в функцию 0 входят в общем случае все m составляющих вектора Xi.
Для многих задач оптимизации технологических процессов начальное состояние сырья X1 нельзя считать фиксированным, т.к. оно может изменяться в некоторых, не всегда контролируемых, пределах. В таком случае управляющие переменные Ui можно выбирать либо оптимально в среднем на всём множестве изменения вектора X1, либо они должны быть оптимальны для самого неблагоприятного состава сырья.
9.9. Согласование работы периодически или циклически действующих аппаратов.
Производительность аппаратов этих типов периодически изменяется. В том случае, когда они работают параллельно на общего потребителя, возникает задача такого выбора сдвигов между моментами начала циклов, при котором отклонение текущей производительности от её среднего значения минимально.
Для формализации задачи введём обозначения: i( t - i ) – периодическая с периодом T функция, выражающая зависимость производительности i-го аппарата от времени; i – время сдвига начала цикла i-го аппарата по отношению к началу цикла первого аппарата (1 = 0).
Оценивая отклонение от средней производительности функционалом
I= dt min (9.26)
приходим к задаче выбора вектора с составляющими i, оптимизирующего (9.26). Величина M – средняя за период производительность всех N агрегатов равна:
M = dt (9.27)
Рассматривая задачу оптимизации агрегата периодического действия, считали продолжительность цикла Т параметром, подлежащим оптимальному выбору. Если же несколько аппаратов работают параллельно, то продолжительность цикла каждого из них нельзя выбирать независимо. Часто требуется, например, чтобы между остановкой одного агрегата для выгрузки и началом выгрузки следующего агрегата прошло некоторое время выг., т.к. загрузку и выгрузку нескольких агрегатов производит одно устройство с ограниченной производительностью. Критерий оптимальности в этом случае представляет собой сумму функционалов вида (9.13), в каждом из которых величины T, , A и функция 0 имеют индекс номера аппарата, то есть
I = min
В задачу кроме ограничений, перечисленных для критерия (9.13), следует добавить условие
( ti + Ti + i ) – ( t + T + ) выг i
где ti и t – моменты начала циклов для i-го и -го аппаратов.
Литература.
1.Цирлин А.М. Оптимальное управление технологическими процессами: Учебное пособие для вузов - М.: Энергоатомиздат, 1986 – 400 с.
2.Автоматическое управление в химической промышленности:
Учебник для вузов. Под ред. Е.Г. Дудникова. - М.: Химия, 1987 – 368 с.
3.Теория автоматического управления. Часть II. Под ред. А.А. Воронова - М.: Высшая школа, 1977 – 288 с.