- •А.В. Михайлов
- •Утверждено
- •Москва 2009
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2 Основные этапы формулировки задачи.
- •1.3 Классификация оптимизационных задач.
- •1.4 Критерий оптимальности.
- •1.5. Условия оптимальности решения.
- •2.1. Постановка задачи. Методы решения оптимизационных задач.
- •2.3. Численные методы решения задачи (методы одномерного поиска).
- •2.3.1. Метод равномерного поиска
- •2.3.2. Метод последовательного равномерного поиска.
- •2.3.3. Метод дихотомии (Метод деления интервала неопределенности пополам)
- •2.3.4 Метод золотого сечения
- •3. Определение безусловного максимума функции нескольких переменных.
- •3.1. Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация. Линии равного уровня.
- •Аналитический метод решения задачи. Аналитический метод использует необходимое условие max функции нескольких переменных:
- •Численные методы решения задачи (методы многомерного поиска).
- •Метод направленного перебора.
- •3.3.2. Методы нулевого порядка.
- •3.3.2.1. Метод Гауса-Зайделя (покоординатного поиска).
- •Пример: Выполнить первый цикл поиска максимума функции:
- •3.3.2.2. Симплекс-метод
- •3.3.3. Численные методы первого порядка (градиентные)
- •3.3.3.2. Метод градиента.
- •3.3.3.3. Метод крутого восхождения.
- •4.1 Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация
- •4.2. Аналитические методы решения задачи
- •4.2.1. Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Теорема Куна-Таккера.
- •4.3. Численные методы решения задачи
- •4.3.1. Метод штрафных функций
- •5. Оптимизация многостадийных процессов
- •5.1. Постановка задачи на примере и ее формализация.
- •5.3. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана.
- •5.4. Задача определения оптимального пути на сетевом графике (графе).
- •6. Линейное программирование.
- •6.1. Постановка задачи линейного программирования и особенности ее решения.
- •7.Определение максимума функционала. (Вариационная задача оптимизации).
- •7.1. Пример постановки вариационной задачи.
- •7.2. Определение безусловного максимума функционала. (Классическая вариационная задача), (задача Эйлера).
- •7.3. Определение условного максимума функционала (неклассическое вариационное исчисление)
- •7.4. Определение условного максимума функционала с ограничениями типа дифференциальных уравнений. Принцип максимума Понтрягина.
- •8.1. Формирование критериев оптимальности.
- •8.2. Способы формирования сводного критерия оптимальности.
- •8.2.1. Свертка частных критериев с весовыми коэффициентами.
- •8.2.2. Использование нормативных критериев.
- •8.2.3. Приближение к идеалу.
- •8.2.4. Справедливый компромисс.
- •8.3. Оптимальность по Парето.
- •9. Типовые постановки задач оптимального управления технологическими процессами
- •9.1. Пуск и остановка единичного агрегата.
- •9.2. Пуск системы взаимосвязанных агрегатов.
- •9.3. Оптимизация статического установившегося режима.
- •9.4. Оптимизация циклического установившегося режима.
- •9.5. Оптимизация режима в аппарате периодического действия.
- •9.6. Календарное планирование работы аппарата
- •9.7 Оптимальный режим работы параллельно включенных агрегатов: распределение нагрузок.
- •9.7.1. Минимизация затрат.
- •9.7.2. Учет вероятностного характера нагрузки.
- •9.7.3. Учёт динамических факторов.
- •9.8. Оптимальный режим работы последовательно включенных агрегатов.
- •9.9. Согласование работы периодически или циклически действующих аппаратов.
7.4. Определение условного максимума функционала с ограничениями типа дифференциальных уравнений. Принцип максимума Понтрягина.
(7.11)
i = 1, 2, …, n. (7.12)
Для решения задачи (7.11), (7.12) используется необходимые условия оптимальности, известные как принцип максимума Понтрягина. Составляем функционал Понтрягина:
(7.13)
Если ирешение задачи (7.11), (7.12), то найдется такой вектор, что приифункцияН достигает максимум по
(7.14)
Составляющие вектора являются решением системы дифференциальных уравнений.
(7.15)
с граничным условием , (7.16)
если не заданы составляющие при t=T. Если условия заданы в общем виде
, (7.17)
то (7.18)
Последовательность решения задачи (7.11) (7.12)
Составляем функционал Н в соответствии с (7.13) и из условия (7.14) определяем
Решаем систему уравнений (7.15) для переменных с граничными условиями (7.16) или (7.18).
Решаем систему дифференциальных уравнений (7.12) совместное решение позволяет найти .
8. Оптимальное управление технологическими процессами.
8.1. Формирование критериев оптимальности.
Любой технологический процесс характеризуется рядом показателей - таких как производительность G, вектор К, определяющий качество выходного продукта, показатель надежности Р, капиталовложения М, затраты на обслуживание . Как уже указывалось выше (см. раздел 1.4) возможны два подхода к формулированию оптимизационных задач. При первом походе в качестве критерия оптимальности выбирается один из показателей функционирования процесса, наиболее важный с точки зрения постановщика задачи, а остальные учитываются при формировании ограничений.
Однако часто возникает желание оптимизировать одновременно несколько показателей функционирования. При этом можно пойти по пути формирования сводного критерия оптимальности, так или иначе включающего в себя показатели, подлежащие оптимизации (частные критерии) или обойтись без него.
Возможные способы формулировки задачи оптимизации с несколькими частными критериями рассмотрены в этом разделе.
8.2. Способы формирования сводного критерия оптимальности.
Обозначим через Iυ υ-ый показатель функционирования процесса и будем для простоты считать, что в результате оптимизации желательно каждый из m таких показателей (частных критериев) увеличить. Если некоторые из показателей, например капиталовложения М, нужно уменьшить, то соответствующий им частный критерий Iυ, примем равным -М. Через обозначим параметры процесса и системы управления, подлежащие оптимальному выбору (переменные управления), и будем первоначально считать задачу полностью детерминированной, полагая, что значение каждого из частных критериев становится известным при заданных. Совокупность ограничений, накладываемых на оптимизируемые параметры управления составит область допустимых значений варьируемых переменных.
Для пояснения способов формирования сводного критерия ограничимся случаем с двумя переменными U1 и U2, подлежащими выбору и двумя частными критериями I1 и I2, геометрическая интерпретация которого представлена на рис. 8.1.
Рис.8.1
U1
Аналогично отображая каждую точку границы области допустимых значений управлений V, получаем на плоскости критериев область допустимых значений критериев I, включающую в себя все значения частных критериев I1 и I2, которые могут быть получены, при допустимых значениях управлений U1 и U2.
Очевидно, что оптимальное решение по одному критерию приводит в точкуи не совпадает с оптимальным решением по другому критерию(точка). Чтобы найти оптимальное решение, можно пойти по пути формирования из частных критериевIυ сводного критерия . Рассмотрим несколько способов получения сводного критерия.