- •А.В. Михайлов
- •Утверждено
- •Москва 2009
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2 Основные этапы формулировки задачи.
- •1.3 Классификация оптимизационных задач.
- •1.4 Критерий оптимальности.
- •1.5. Условия оптимальности решения.
- •2.1. Постановка задачи. Методы решения оптимизационных задач.
- •2.3. Численные методы решения задачи (методы одномерного поиска).
- •2.3.1. Метод равномерного поиска
- •2.3.2. Метод последовательного равномерного поиска.
- •2.3.3. Метод дихотомии (Метод деления интервала неопределенности пополам)
- •2.3.4 Метод золотого сечения
- •3. Определение безусловного максимума функции нескольких переменных.
- •3.1. Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация. Линии равного уровня.
- •Аналитический метод решения задачи. Аналитический метод использует необходимое условие max функции нескольких переменных:
- •Численные методы решения задачи (методы многомерного поиска).
- •Метод направленного перебора.
- •3.3.2. Методы нулевого порядка.
- •3.3.2.1. Метод Гауса-Зайделя (покоординатного поиска).
- •Пример: Выполнить первый цикл поиска максимума функции:
- •3.3.2.2. Симплекс-метод
- •3.3.3. Численные методы первого порядка (градиентные)
- •3.3.3.2. Метод градиента.
- •3.3.3.3. Метод крутого восхождения.
- •4.1 Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация
- •4.2. Аналитические методы решения задачи
- •4.2.1. Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Теорема Куна-Таккера.
- •4.3. Численные методы решения задачи
- •4.3.1. Метод штрафных функций
- •5. Оптимизация многостадийных процессов
- •5.1. Постановка задачи на примере и ее формализация.
- •5.3. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана.
- •5.4. Задача определения оптимального пути на сетевом графике (графе).
- •6. Линейное программирование.
- •6.1. Постановка задачи линейного программирования и особенности ее решения.
- •7.Определение максимума функционала. (Вариационная задача оптимизации).
- •7.1. Пример постановки вариационной задачи.
- •7.2. Определение безусловного максимума функционала. (Классическая вариационная задача), (задача Эйлера).
- •7.3. Определение условного максимума функционала (неклассическое вариационное исчисление)
- •7.4. Определение условного максимума функционала с ограничениями типа дифференциальных уравнений. Принцип максимума Понтрягина.
- •8.1. Формирование критериев оптимальности.
- •8.2. Способы формирования сводного критерия оптимальности.
- •8.2.1. Свертка частных критериев с весовыми коэффициентами.
- •8.2.2. Использование нормативных критериев.
- •8.2.3. Приближение к идеалу.
- •8.2.4. Справедливый компромисс.
- •8.3. Оптимальность по Парето.
- •9. Типовые постановки задач оптимального управления технологическими процессами
- •9.1. Пуск и остановка единичного агрегата.
- •9.2. Пуск системы взаимосвязанных агрегатов.
- •9.3. Оптимизация статического установившегося режима.
- •9.4. Оптимизация циклического установившегося режима.
- •9.5. Оптимизация режима в аппарате периодического действия.
- •9.6. Календарное планирование работы аппарата
- •9.7 Оптимальный режим работы параллельно включенных агрегатов: распределение нагрузок.
- •9.7.1. Минимизация затрат.
- •9.7.2. Учет вероятностного характера нагрузки.
- •9.7.3. Учёт динамических факторов.
- •9.8. Оптимальный режим работы последовательно включенных агрегатов.
- •9.9. Согласование работы периодически или циклически действующих аппаратов.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего образования
Московский государственный университет
пищевых производств
А.В. Михайлов
Конспект лекций по дисциплинам
«Оптимизация управления» для студентов специальности 220301
и «Оптимальное управление технологическими объектами»
для студентов специальности 220201
Утверждено
Президиум НМС МГУПП
Москва 2009
УДК 681.513.5
ББК 32.965
Рецензенты:
Прокофьев Е.А. – зав. каф. «КИП и СА» МГУПП, профессор;
Семина Н.А. – доц. каф. «Автоматизация биотехнологических процессов» МГУПБ
Михайлов А.В. Конспект лекций по дисциплинам «Оптимизация управления», «Оптимальное управление технологическими объектами»: Учебное пособие – М.: Издательский комплекс МГУПП, 2009,-92с.
Учебное пособие содержит в сжатой форме полный объем информации, необходимой студентам для изучения соответствующих дисциплин, начиная с методов постановки и решения одномерных задач оптимизации и заканчивая изложением вопросов вариационного исчисления, необходимых для решения задач оптимизации динамики сложных технологических объектов и процессов. Подробно рассмотрены постановка и подход к решению типовых задач оптимального управления технологическими процессами.
Предназначено для студентов специальностей 220201 и 220301.
Рис. 42, табл. 1, библиогр.:3 назв.
УДК 681.513.5
ББК 32.965
1. Формулировка, структура и классификация оптимизационных задач.
1.1. Основные понятия и определения.
При постановке задачи оптимизации сначала в словесной форме формируется критерий оптимальности, т.е. определяется тот показатель оптимизируемого процесса или объекта, на основании которого будет производиться сравнительная оценка возможных решений и выбор наилучшего, с точки зрения принятого критерия.
Для решения оптимизационной задачи ее необходимо формализовать, т.е. перейти от словесной постановки задачи к математической, для чего необходимо выразить принятый критерий оптимальности в виде математического выражения, величина которого зависит от значений входящих в него переменных:
I=F(),
где I – обозначение критерия оптимальности;
=(Х1,Х2,…, Хn) – вектор варьируемых переменных, т.е. показателей оптимизируемого процесса или объекта, от которых зависит значение критерия оптимальности;
F – вид математической зависимости (функция или функционал), связывающей критерий оптимальности с варьируемыми переменными.
Целью оптимизации является нахождение таких значений переменных, которые обеспечивают экстремальное, т.е. максимальное или минимальное значение критерия оптимальности в зависимости от смысла поставленной задачи. Так, очевидно, что производительность агрегата или аппарата следует максимизировать, а себестоимость выпускаемой продукции минимизировать.
Часто при математической постановке задачи оптимизации вместо обозначения критерия оптимальности – I* используется обозначение целевой функции - .
Различие между понятиями критерий оптимальности и целевая функция достаточно расплывчато. Можно сказать, что обозначение критерия оптимальности применяется тогда, когда варьируемые переменные, выражены в физических единицах, а обозначение целевой функции , когда эти физические единицы (скорость, давление, расход, температура, и т. д.) заменены на математические Х1, Х2,…,Хn, или, когда оптимизационная задача с самого начала представляет собой абстрактную математическую задачу.
Однако данное определение применимо не всегда. Так в задачах оптимизации многостадийных процессов и оптимизации функционала применяются оба этих обозначения – I и , причем в этих задачах критерий оптимальности I представляет собой некую совокупность (сумму или интеграл) целевых функций .
Рассмотрим в качестве примера постановку задачи проектирования оптимального грузового автомобиля. Очевидно, что основным показателем такого автомобиля, является его грузоподъемность, которая зависит от большого количества различных параметров (длина, ширина, высота автомобиля, его вес и прочность, зависящие в свою очередь от материала, используемого при изготовлении, мощность двигателя, расход горючего и его качество и т.д.).
Оптимизационная задача в рассматриваемом примере может быть сформулирована следующим образом: подобрать параметры грузовика таким образом, чтобы обеспечить максимум его грузоподъемности, т.е. критерием оптимальности в данной задаче является грузоподъемность, а варьируемыми переменными все параметры, от которых она зависит.
Однако очевидно, что мы не можем бесконечно увеличивать ни размеры грузовика, ни его вес, ни мощность двигателя. Также мы должны при проектировании обеспечить приемлемую цену грузовика, обеспечить нормальные условия для его управления и т.д.
Таким образом, на все варьируемые переменные, от которых зависит значение критерия оптимальности, должны быть наложены ограничения, сформулированные таким образом, чтобы полученное решение задачи имело практический смысл.
Из рассмотренного примера можно сделать два вывода:
1. Для математической постановки задачи оптимизации требуется сформулировать критерий оптимальности или целевую функцию и ограничения, накладываемые на варьируемые переменные, от которых зависит значение критерия.
Оптимальным решением задачи является решение, обеспечивающее экстремум выбранного критерия оптимальности, при выполнении ограничений, накладываемых на варьируемые переменные, от которых зависит значение критерия, а вовсе не «самое лучшее решение», как часто принято считать на бытовом уровне.
Значения варьируемых переменных, которые удовлетворяют всем ограничениям, предусмотренным в задаче, называются допустимыми. Их совокупность представляет собой множество или, по-другому, область допустимых значений варьируемых переменных D:
В общем случае множество D состоит из ограничений трех видов:
где n-число варьируемых переменных, входящих в критерий оптимальности.
Отметим, что здесь и в дальнейшем нижний индекс и верхний индекс обозначают минимально и максимально допустимые значения варьируемых переменных.
Выражение (1.1.) представляет собой ограничения, накладываемые на каждую из переменных в отдельности и называется автономными ограничениями.
Выражения (1.2) и (1.3) представляют собой ограничения, накладываемые на совокупность переменных, причем j() иk() могут представлять собой функции любого вида в зависимости от конкретной задачи оптимизации.
Выражение (1.2), задаваемое в форме равенств называется ограничениями типа связи, а выражение (1.3), задаваемое в форме неравенств – функциональными ограничениями.
Необходимо отметить обязательность условия mn, т.е. число уравнений связи в оптимизационной задаче всегда меньше числа варьируемых переменных критерия оптимальности.
Действительно, в случае mn из уравнения связи всегда можно выделить систему из n уравнений с n неизвестными. Решив эту систему, мы найдем все допустимые для данной задачи значения варьируемых переменных, которые и будут оптимальными, т.е. оптимизационная задача при mn сводится к чисто математической задаче решения системы уравнений.
На основании выше изложенного можно сформулировать следующее определение. Решить оптимизационную задачу значит найти значения варьируемых переменных , обеспечивающих экстремум (max или min в зависимости от смысла задачи) критерия оптимальности I или целевой функции и удовлетворяющих области (множеству) допустимых значений варьируемых переменных D. Область D также называют областью (множеством) допустимых решений оптимизационной задачи.
Заметим, что данное определение справедливо только в случае, если критерий оптимальности представляет из себя функцию одной или нескольких переменных. Если же критерием оптимальности является функционал, то решением оптимизационной задачи будет функция, обеспечивающая экстремум функционала (см. раздел 1.4).