- •А.В. Михайлов
- •Утверждено
- •Москва 2009
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2 Основные этапы формулировки задачи.
- •1.3 Классификация оптимизационных задач.
- •1.4 Критерий оптимальности.
- •1.5. Условия оптимальности решения.
- •2.1. Постановка задачи. Методы решения оптимизационных задач.
- •2.3. Численные методы решения задачи (методы одномерного поиска).
- •2.3.1. Метод равномерного поиска
- •2.3.2. Метод последовательного равномерного поиска.
- •2.3.3. Метод дихотомии (Метод деления интервала неопределенности пополам)
- •2.3.4 Метод золотого сечения
- •3. Определение безусловного максимума функции нескольких переменных.
- •3.1. Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация. Линии равного уровня.
- •Аналитический метод решения задачи. Аналитический метод использует необходимое условие max функции нескольких переменных:
- •Численные методы решения задачи (методы многомерного поиска).
- •Метод направленного перебора.
- •3.3.2. Методы нулевого порядка.
- •3.3.2.1. Метод Гауса-Зайделя (покоординатного поиска).
- •Пример: Выполнить первый цикл поиска максимума функции:
- •3.3.2.2. Симплекс-метод
- •3.3.3. Численные методы первого порядка (градиентные)
- •3.3.3.2. Метод градиента.
- •3.3.3.3. Метод крутого восхождения.
- •4.1 Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация
- •4.2. Аналитические методы решения задачи
- •4.2.1. Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Теорема Куна-Таккера.
- •4.3. Численные методы решения задачи
- •4.3.1. Метод штрафных функций
- •5. Оптимизация многостадийных процессов
- •5.1. Постановка задачи на примере и ее формализация.
- •5.3. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана.
- •5.4. Задача определения оптимального пути на сетевом графике (графе).
- •6. Линейное программирование.
- •6.1. Постановка задачи линейного программирования и особенности ее решения.
- •7.Определение максимума функционала. (Вариационная задача оптимизации).
- •7.1. Пример постановки вариационной задачи.
- •7.2. Определение безусловного максимума функционала. (Классическая вариационная задача), (задача Эйлера).
- •7.3. Определение условного максимума функционала (неклассическое вариационное исчисление)
- •7.4. Определение условного максимума функционала с ограничениями типа дифференциальных уравнений. Принцип максимума Понтрягина.
- •8.1. Формирование критериев оптимальности.
- •8.2. Способы формирования сводного критерия оптимальности.
- •8.2.1. Свертка частных критериев с весовыми коэффициентами.
- •8.2.2. Использование нормативных критериев.
- •8.2.3. Приближение к идеалу.
- •8.2.4. Справедливый компромисс.
- •8.3. Оптимальность по Парето.
- •9. Типовые постановки задач оптимального управления технологическими процессами
- •9.1. Пуск и остановка единичного агрегата.
- •9.2. Пуск системы взаимосвязанных агрегатов.
- •9.3. Оптимизация статического установившегося режима.
- •9.4. Оптимизация циклического установившегося режима.
- •9.5. Оптимизация режима в аппарате периодического действия.
- •9.6. Календарное планирование работы аппарата
- •9.7 Оптимальный режим работы параллельно включенных агрегатов: распределение нагрузок.
- •9.7.1. Минимизация затрат.
- •9.7.2. Учет вероятностного характера нагрузки.
- •9.7.3. Учёт динамических факторов.
- •9.8. Оптимальный режим работы последовательно включенных агрегатов.
- •9.9. Согласование работы периодически или циклически действующих аппаратов.
8.2.1. Свертка частных критериев с весовыми коэффициентами.
В этом случае сводный критерий I представляет собой сумму частных критериев , умноженных на соответствующие весовых коэффициенты.
Весовые коэффициенты учитывают относительную важность того или иного критерия и устанавливаются путем экспертизы для конкретной задачи оптимизации. Причем их значения должны лежать в переделах от нуля до единицы, а их сумма равняться единице.
Математическая постановка задачи:
(8.1)
где ; (8.2)
Значения частных критериев при формировании сводного критерия должны быть либо безразмерными, либо иметь одинаковую размерность, для того, чтобы их суммирование имело смысл.
Геометрически, применение критерия (8.1) приводит к выбору на множестве I такого вектора у которого максимальна проекция на прямую γ, такую, что квадраты ее направляющих косинусов равны , в.частности
8.2.2. Использование нормативных критериев.
Пусть для каждого из частных критериев известно некоторое нормативное значение , например среднее значениеIυ для действующих аппаратов, аналогичных оптимизируемому.
Тогда отношение характеризует степень совершенства процесса с точки зренияυ - го показателя. Обозначим минимальное по υ значение через. В этом случае величинаможет быть критерием оптимизации, т.е.
(8.3)
В этом случае задача оптимизации состоит в максимизации того относительного частного показателя качества , который имеет наименьшее значение.
При использовании критерия (8.3) можно быть уверенным, что степень совершенства оптимизируемого процесса по любому показателю будет не ниже, чем величина , полученная в результате решения задачи (8.3).
Практически часто оказывается, что увеличение одного из показателей приводит к уменьшению другого. В этом случае использование критерия (8.3) дает такое оптимальное решение, для которого два или несколько значенийокажутся одинаковыми и равными значению, полученному в результате решения задачи.
8.2.3. Приближение к идеалу.
Пусть известны решения m задач оптимизации вида
; υ=1, …, m (8.4)
В результате найдены предельные значения каждого из частных критериев оптимальности без учета остальных. В пространстве критериев точкус координатаминазываютидеалом. Когда решения задач (8.1) не одинаковы, идеал не принадлежит множеству допустимых значений критериев (см. рис. 8.1).
Однако можно на втором этапе решения поставить задачу определения такого достижимого критерия и соответствующего ему допустимого решения, для которых расстояние от идеала было бы минимальным, например
(8.5) или
(8.6)
В случае выбора критерия (8.5) минимизируется квадрат расстояния от достижимой оптимальной точки на плоскости критериев до точки идеала I*, при выборе критерия (8.6) минимизируется максимальное из расстояний от получаемой точки до точек максимума по частным критериям I1* или I2*.
8.2.4. Справедливый компромисс.
Выбор решения в задаче с несколькими частными критериями представляет собой компромисс, т.к. увеличение одного показателя качества часто приводит к уменьшению другого. При справедливом компромиссе стремятся к тому, чтобы в точке сумма относительных изменений всех показателей была равна нулю, т.е. в точкедолжно быть выполнено равенство
(8.7)
Это равенство можно преобразовать к виду
(8.8)
Равенство (8.8) является необходимым условием максимума произведений , т.е. справедливый компромисс соответствует сводному критерию
(8.9)
Заканчивая рассматривать способы формирования сводных критериев оптимальности отметим, что одним из самых распространенных способов увязки частных критериев является формирование критерия оптимальности в экономических терминах.