8.3. Оптимальность по Парето.

Выбор любого сводного критерия субъективен или основан на некоторых дополнительных предположениях. Однако оптимальное решение в задаче с несколькими критериями можно получить без введения сводного критерия. Такой подход был предложен в 1904 г. итальянским экономистом В. Парето.

Оптимальным по Парето решением Uп является любое решение, если среди допустимых решений не найдётся такого U^О, для которого:

I_υ(U^O)  I_υ(U_п) υ= 1,…,m (8.10)

причём хотя бы для одного значения υ неравенство (8.10) строгое. Иными словами, U_п оптимально, если, изменяя его, нельзя улучшить ни одного из частных показателей, не ухудшая при этом хотя бы одного из остальных.

Оптимальным, по Парето, решениям соответствует на рис. 8.1 та часть границы множества I (выделена жирной линией), для которой любое направление движения, образующее с осью абсцисс угол от 0 до /2, выходит за пределы множества I, например, точка I_п1.

Можно доказать, что любой из приведённых выше способов образования сводного критерия I приводит к получению одного из решений, оптимальных по Парето. В том случае, когда граница множества I, соответствующая оптимальным по Парето решениям, выпукла, все эти решения можно получить из задачи о максимуме сводного критерия (8.1) при изменении весовых коэффициентов _υ, т.е. в пределах условий (8.2).

Действительно, для рис. 8.1 в соответствии с выражениями (8.1) и (8.2) имеем:

В случае ,, получаем, а при,. Очевидно, что при уменьшенииот единицы до нуля и соответствующем увеличенииот нуля до единицы точкабудет перемещаться по границе множества I от точкидо точки.

9. Типовые постановки задач оптимального управления технологическими процессами

9.1. Пуск и остановка единичного агрегата.

С ростом производительности агрегатов задача оптимального автоматизированного управления процессами пуска и останова приобретает всё большее значение как с точки зрения безаварийности их проведения, так и с точки зрения уменьшения потерь продукта, зависящих от длительности этих процессов.

Эта задача часто состоит в переводе объекта из фиксированного начального состояния в фиксированное конечное состояние за минимальное время, при выполнении ограничений, гарантирующих безопасность пуска и останова, например допустимой скорости перепада температур или давлений.

Формализуем задачу пуска аппарата, введя обозначения:

–вектор переменных, характеризующих состояние аппарата,

–вектор управляющих переменных.

Критерием оптимальности служит продолжительность пуска.

_T

I = T =  dt  min (9.1)

⁰

Условия, определяющие множество допустимых решений, представляют собой следующую совокупность:

автономных ограничений на каждую из составляющих векторов и.

X_*  X  X^*  = 1,…, m

U_j*  U_j  U_j^* j = 1,…, n, (9.2)

условий, определяющих состояние процесса в начале и конце пуска

X(0) = X₀, X(T) = X_T (9.3)

обыкновенных дифференциальных уравнений, связывающих, в большинстве случаев, управляющие воздействия c переменными состояния

_

X =  (,), = 1,…, m (9.4)

функциональных ограничений, учитывающих связь между различными переменными состояния X

F_K ( X(t) )  0  t   0, T , K = 1, 2,…l (9.5)

Часто существуют ограничения на общий ресурс управляющих воздействий за весь интервал пуска

_T

 _ ( U(t) ) dt - b_ = 0  = 1, 2, … r (9.6)

⁰

Таким образом, задача пуска аппарата, останова и перевода с одного режима на другой (9.1)–(9.4) представляет собой вариационную задачу оптимального уравнения, усложнённую функциональными ограничениями (9.5) на переменные состояния и ограничениями типа связи (9.6), накладываемыми на управляющие воздействия.