2.3. Численные методы решения задачи (методы одномерного поиска).

Методы одномерного поиска представляют собой вычислительную процедуру, в ходе которой интервал возможных значений изменяется от заданного начального до конечного, не превышающего допустимую погрешность.

При использовании этих методов вычисляется значение целевой функции при ,выбирается таким образом, чтобы, гдеi – номер шага поиска.

Алгоритм поиска должен включать в себя:

• правило перехода от к,

• правило окончания поиска, которое связано с точностью определения , т.е. с величиной заданной допустимой погрешности.

Численные методы решения оптимизационных задач в основном представляют из себя итерационные вычислительные процедуры. Суть итерационных методов расчета заключается в том, что на каждой последующей итерации (этапе) расчета используются результаты, полученные на предыдущей итерации.

В оптимизационных задачах результаты предыдущей итерации используются для того, чтобы уменьшить область (для задач одномерного поиска-интервал), в которой будет искаться максимум на последующей итерации.

К неитерационным методам, где расчеты осуществляются в один этап, относятся методы, позволяющие работать с невыпуклыми функциями, имеющими несколько точек максимума. Одним из таких методов является метод равномерного поиска, рассматриваемый ниже.

2.3.1. Метод равномерного поиска

Пусть целевая функция, определенная наD: , необходимо найтис допустимой погрешностью (рис. 2.5)

Рис. 2.5

И

Рис. 2.5

сходный интервал неопределенности (область допустимых значений)делится на m равных отрезков. Если, т.е. ошибка задана не в абсолютных единицах, а в относительных и представляет собой определенную часть от длины исходного интервалаL(0) , то ,- число узловых точек.

После этого производится вычисление значений целевой функции во всех узловых точках и сравнивание их между собой. За решение задачи принимается значениеХ в узловой точке с наибольшим значением целевой функции.

Недостатком метода является его громоздкость, например при , что соответствует вычислению максимума с точностью 0,1% от величины исходного интервала неопределенности, число вычислений целевой функции, равное числу узлов. Преимуществом же данного метода, как отмечалось выше, является его пригодность к вычислению глобального максимума невыпуклых, или, по другому, не унимодальных функций.

Ниже приведенные итерационные методы одномерного поиска, пригодны только для определения максимума выпуклых (унимодальных) функций.

2.3.2. Метод последовательного равномерного поиска.

Итерационный метод, где на каждой итерации применяется метод равномерного поиска, причем интервал неопределенности уменьшается с каждой итерацией.

Рис. 2.6

Количество отрезков m, на которое делится интервал неопределенности L задается (на рис. 2.6 m=8). После каждой итерации интервал неопределенности уменьшается в пропорции (на рис. 2.6 в четыре раза). Заn итераций имеем , причем для обеспечения требуемой точности расчетов должно быть, откуда получаем(2.9).

Выражение (2.9) определяет число итераций, требуемое для решения задачи с заданной погрешностью . Общее количество расчетов целевой функции при этомN_пр = (m+1) n.

Пусть m=10, =0,001. Логарифмируя (2.9), получим откуда- число итераций расчета.

, т.е. объем вычислений по сравнению с методом равномерного поиска уменьшается почти в 20 раз.