Теорема Куна-Таккера.
Применяется при решении полной задачи нелинейного программирования (4.1.) – (4.4.).
Если
- вектор, являющийся решением задачи
(4.1.) – (4.4.), то найдется вектор λ =
(λ1,λ2,…λm),
где m
– число уравнений связи (4.3) и
вектор
μ
= (μ1,μ2,…μr),
где r
- число функциональных ограничений
(4.4.) одновременно не равные нулю, такие
что при
,
расширенная функция Лагранжа:
(4.19)
достигает
по
иmin
по
При этом необходимо выполнение дополнительных условий
μk ≥ 0 (4.20)
μk
ψk(
)
= 0
(4.21)
Таким образом, необходимые условия оптимальности из теоремы Куна-Таккера:
(4.22)
(4.23)
Если
автономные ограничения отсутствуют,
тогда знак вариации варьируемых
переменных
не определен и условие (4.22) преобразуется
в условие:
(4.24)
Пример:
Определить
при
D= X1 + X2 = 0
X1 – 1 ≥ 0
Составляем расширенную функцию Лагранжа:
≥0;
А
втономные
ограничения отсутствуют, поэтому
используем необходимые условия
оптимальности (4.24) и (4.23)
=-2
+2+
+
=0
+
=
0
Так
как мы получили систему из трех уравнений
с четырьмя неизвестными
,
то для решения задачи необходимо
использовать дополнительные условия
(4.20) и (4.22). Эти условия в рассматриваемой
задаче будут выполняться в двух случаях:
1). μ = 0; ψ(X) = X1 – 1 ≥ 0, тогда имеем:
-
2X1
+
= - 2X1
– X2
= 1
= 0.5
-2X2
+
= 0 , откудаX1
+ X2
= 0 ,
= - 0.5
X1 + X2 = 0
При
полученных значениях
и
условиеX1
- 1 ≥ 0 не выполняется, следовательно,
принятое допущение некорректно.
Заметим также, что в случае μ = 0, расширенная функция Лагранжа (4. 19) превращается в обычную функцию Лагранжа (4. 6), которая составляется в случае отсутствия функциональных ограничений (4. 4), что не соответствует условиям рассматриваемого примера.
2). µ > 0; X1 – 1 = 0; следовательно: X1 = 1
Необходимые условия оптимальности:
-2X
+ λ
+ μ
= -2
-2X2 + λ = 0
X1 + X2 = 0
Откуда, с учетом X1= 1, получаем X2= -1; λ = -2; μ = 2 > 0, следовательно, условие (4. 20) выполняется.
Таким образом, задача решена X10 = 1, X20 = -1.
Очевидно, что наложение на область допустимых решений D дополнительных условий уменьшает значение получаемого максимума функции f0.
Для подтверждения этого положения найдем для рассмотренного примера максимальные значения целевой функции в отсутствии ограничений (безусловный максимум), при наличии одного ограничения типа связи и при наличии обоих ограничений, предусмотренных в условии примера.
Необходимые условия оптимальности целевой функции в отсутствие ограничений
;
где M1
– безусловный
Это случай μ = 0, т.е. отсутствуют функциональные ограничения. Решения для него получены выше.
M2 = max f0 (Х) = – (0.5)2 – (0.5)2 + 2 · 0.2 = 0.5
X€D
D: X1+X2=0
3.
При наличии обоих ограничений выше
получено
M3 = max f0 (X) = - (1)2 – (-1)2 + 2 · 1 = 0
X€D
D= X1+X2=0
X1 -1 ≥ 0
M1 > M2 > M3 - что и требовалось доказать.