21)Определение порядка б.М. И выделение главной части б.М.

Определение порядка бесконечно малой.

Для опред-я порядка малости бесконечной ф-и, ее сравнивают со степенной ф-ей вида:

g(x) = (x-a)ⁿ, (n>0) б.м. при x→a

g(x) = xⁿ, (n>0) б.м. при x→0

g(x) = , (n>0) б.м. при x→∞.

Опред.: пусть f(x) и g(x) = (x-a)ⁿ, (n>0) б.м. при x→a. Если Ǝ==C, где С≠0-конечное число, f(x) - б.м. при x→a имеет порядок малости n.

Выделение главной части бесконечно малых.

Опред.: пусть f(x) и g(x)=C(x-a)ⁿ (где С≠0, n>0 – конечные числа) бесконечно малые при x→a такие, что Ǝ=1. Тогда говорят, что б.м.f(x) при x→a имеет порядок малости n, а величину C(x-a)ⁿ назыв. глав. часть f(x) при x→a.

Теорема о выдел. глав. части б.м.

Если C(x-a)ⁿ – глав. часть б.м. f(x) при x→a, то f(x) при x→a представл. В виде f(x) = C(x-a)ⁿ+0((x-a)ⁿ), (x→a).

Док-во: т.к. C(x-a)ⁿ – глав. часть б.м. f(x) при x→a, то Ǝ=1. Тогда из опред. предела следует, что |< ε приxϵE, 0<|x-a|<ƃ. Т.к. ε-любое сколь угодно малое, то g(x) = – 1 –б.м. приx→a. => g(x) * C(x-a)ⁿ = f(x) – C(x-a)ⁿ или f(x) = C(x-a)ⁿ + + g(x) * C(x-a)ⁿ = C(x-a)ⁿ+0((x-a)ⁿ), (x→a).

________________________________________________________________________

22)Вывести таблицу эквивалентных б.М.

Эквивалентные б.м. ф-и.

Пусть f(x) и g(x) – б.м. одного порядка малости при x→a. Если Ǝ== 1, то их назыв. эквивалентными б.м.f(x)~g(x) при x→a.

Теорема: предел отношения двух б.м. не изменяется, если каждую из них, или хотя бы одну заменить эквивалентной б.м.

Док-во: пусть f(x)~f*(x), g(x) ~g*(x) – б.м. при x→a.

= ==

Таблица эквивалентных б.м.

1. sinx~x, при x→0

2. tgx~x, при x→0

3. arctgx~x, при x→0

4. arcsinx~x, при x→0

5. 1-cosx~x², при x→0

6. a^x-1~x*lna, при x→0

7. e^x-1~x, при x→0

8. ~, приx→0

9. ln(1+x) ~x, при x→0

10. ~, при x→0

11. ~, при x→0

12. ~, при x→0

________________________________________________________________________

23)Сравнение б.Б величин .

Опред.1: пусть на мн-ве Е задана ф-я y=f(x), a – предельная точка мн-ва Е. ф-я f(x) назыв. б.б при x→a, если = ∞ (ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, 0<|x-a|<ƃ): |f(x)|>ε.

Опред.2: пусть f(x) и g(x) – б.б. при x→a.

1. Если Ǝ, тоg(x) имеет больший порядок роста, чем f(x) при x→a

2. Если Ǝ, тоf(x) б.б. более высокого порядка роста при x→a

3. Если Ǝ, тоg(x) и f(x)-б.б. одного порядка роста при x→a.

Для опред-я порядка роста ф-ю f(x) сравнивают с ф-ей g(x):

g(x) = – б.б. приx→a, n>0

g(x) = – б.б. приx→0, n>0

g(x) = xⁿ – б.б. при x→∞, n>0

Опред.3: пусть f(x) и g(x)=C()ⁿ (С≠0б n>0) – б.б. при x→a. Если Ǝ=1, то ф-юназыв. глав. частью б.б.f(x) при x→a, а число n – порядком роста.

________________________________________________________________________

24)Запись на языке (ε+ ƃ) Определение пределов функции.

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,|x-a|<ƃ): |f(x)-A|<ε.

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,|x-a|<ƃ): A-ε<f(x)<A.

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,|x-a|<ƃ): A <f(x)<A+ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,|x-a|<ƃ): |f(x)|> ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,|x-a|<ƃ): f(x)<-ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,|x-a|<ƃ): f(x)>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a- ƃ <x<ƃ): |f(x)-A|>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a- ƃ <x<ƃ): A-ε<f(x)<A

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a- ƃ <x<ƃ): A <f(x)<A+ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a- ƃ <x<ƃ): |f(x)|>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a- ƃ <x<ƃ): f(x)<-ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a- ƃ <x<ƃ): f(x)>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a <x<a+ƃ): |f(x)-A|<ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a <x<a+ƃ): A-ε<f(x)<A

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a <x<a+ƃ): A <f(x)<A+ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a <x<a+ƃ): |f(x)|>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a <x<a+ƃ): f(x)<-ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a <x<a+ƃ): f(x)>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, |x|>ƃ): |f(x)-A|<ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, |x|>ƃ): A-ε<f(x)<A

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, |x|>ƃ): A <f(x)<A+ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, |x|>ƃ): |f(x)|>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, |x|>ƃ): f(x)<-ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, |x|>ƃ): f(x)>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x<-ƃ): |f(x)-A|<ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x<-ƃ): A-ε<f(x)<A

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x<-ƃ): A <f(x)<A+ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x<-ƃ): |f(x)|>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x<-ƃ): f(x)<-ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x<-ƃ): f(x)>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x>ƃ): |f(x)-A|<ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x>ƃ): A-ε<f(x)<A

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x>ƃ): A <f(x)<A+ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x>ƃ): |f(x)|>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x>ƃ): f(x)<-ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x>ƃ): f(x)>ε

________________________________________________________________________