51) Точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.

Точки перегиба.

Точку М(x₀, f(x₀)) графика y=f(x) назыв. точкой перегиба, если она отделяет участок кривой, где f(x) выпуклая от участка, где f(x) вогнутая и наоборот.

Достаточное условие точки перегиба.

Пусть f(x) определена на [a,b] и удовлетв. след. усл-ям:

1. f(x)ϵC’[a,b]

2. Ǝf’’(x) в окр-ти т.x₀ϵ(a,b)

Для того, чтобы т.x₀ являлась точкой перегиба ф-и f(x) необх. и достат., чтобы f’’(x)=0 при условии, что f’’(x)≠0 в окр-ти т. x₀ и чтобы при переходе через x₀ f’’(x) меняла знак.

Пусть Ǝx₀ϵ(a,b) такая, что при переходе через которую f’’(x) меняет знак. Пусть при x<x₀ f’’(x)>0, а при x>x₀ f’’(x)<0. По теореме 2, если f’’(x)>0, то f(x) – вогнутая при x<x₀, если f’’(x)<0, то f(x) – выгнутая при x>x₀. Тогда по определению x₀ – точка перегиба.

________________________________________________________________________

52) Определение неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.

Определение неопределенного интеграла.

Опред.1: ф-ю F(x) назыв. первообразной ф-ей на (a,b) для ф-и f(x), если xϵ(a,b) F(x) явл. дифференцируемой и удовлетв. усл-ю F’(x)=f(x).

Теорема: если F₁(x) и F₂(x) – любые первообразные для ф-и f(x) на (a,b), то в любой точке этого интервала имеет место равенство F₂(x)=F₁(x)+C, где С-произвольная const.

Док-во: пусть F₁(x) и F₂(x) – первообразные для f(x), т.е. F₁’(x)=f(x) и F₂’(x)=f(x).

Тогда F₂’(x)-F₁’(x)=0

(F₂(x)-F₁(x))’=0 для xϵ(a,b)

F₂(x)-F₁(x)=C=const => F₂(x)=F₁(x)+C.

Следствие: все первообразные для ф-и f(x) можно задать формулой F(x)+C, где F(X) – одна из первообразных, а С – произвольная const.

Опред.2: мн-во всех первообразных для данной ф-и f(x) на (a,b) назыв. неопределенным интегралом и обознач. ∫f(x)dx, где ∫- знак интеграла, f(x) – подынтегральная ф-я, а dx – подынтегральное выражение.

∫f(x)dx = F(x) + C

Свойства неопределенного интеграла.

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтеграл. выражению, а производная – подынтеграл. ф-и.

d(∫f(x)dx) = f(x)dx

(∫f(x)dx)' = f(x)

Док-во: f(x)dx = F(x) + C, где F’(x) = f(x)

d(∫f(x)dx) = d(F(x) + C) = d(F(x)) = F’(x)dx = f(x)dx ч.т.д.

(∫f(x)dx)’ = (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x) ч.т.д.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой ф-и равен сумме этой ф-и и произвольной постоянной.

∫dF(x) = f(x) + C

Док-во: ∫dF(x) = ∫F’(x)dx = ∫f(x)dx = f(x) + C ч.т.д.

∫dx = x + C

3. Постоянный множитель выносится за знак интеграла.

∫αf(x)dx = α∫f(x)dx

Док-во: ∫αf(x)dx = ∫αF’(x)dx = ∫(αF’(x))’dx = ∫d(αF(x)) = αF(x) + C₁ = α(F(x) + C₁/α) = α(F(x) + C) = α∫f(x)dx ч.т.д.

4. Интеграл от алгебраической суммы ф-й равен алгебраической сумме интегралов от этих ф-й.

∫(f(x)±g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

Док-во: пусть F(x) – первообразная для f(x), т.е. F’(x)=f(x), а G(x) – первообразная для g(x), т.е. G’(x)=g(x).

∫(f(x)±g(x))dx = ∫(F’(x)±G’(x))dx = ∫(F(x)±G(x))’dx = ∫d(F(x)±G(x)) = F(x)±G(x)+C = (F(x)+C₁)±(G(x)+C₂), где C+C₁+C₂ = ∫f(x)dx±∫g(x)dx.

5. Инвариантность ф-лы интегрирования.

Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(u)du=F(u)+C, где г=г(ч) – произвольная непрерывно-дифференцируемая ф-я. Это св-во следует из св-ва инвариантности формы первого дифференциала.

∫f(x)dx=F(x)+C, dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx, где x-независимая переменная.

Пусть u=u(x)^ dF(u(x))=(F(u(x)))’=F_u’*u_x’dx=f(u)du => ∫f(u)du=F(u)+C.

________________________________________________________________________