4)Определение функции, основные свойства функции.
Опред.: пусть даны два непустых мн-ва EcR и YcR. Закон f, по которому каждому эл-ту xϵE ставится в соответствие один и только один эл-нт yϵY назыв. функцией или отображением мн-ва Е на мн-во Y и обозначается y=f(x) или f:E→Y.
Мн-во Е назыв. областью определения ф-ии, а мн-во Y – мн-вом значений. При этом х назыв. аргументом или независимой переменной, а y – функцией или завис. переменной.
Если обл. опред. не указана. То она совпадает со мн-вом допустимых значений.
Основные свойства функций.
Опред.1: пусть ф-я y=f(x) определена на симметричном мн-ве [-a, a] (или (-а, а)).
f(x)
четная на мн-ве Е, если (
xϵE):f(-x)=f(x)
f(x)
нечетная на мн-ве Е, если (
xϵE):f(-x)=-f(x)
Опред.2:
пусть ф-я y=f(x)
определена на мн-ве Е. если (
x1,
x2ϵE):x1<x2
выполн. Нерав-ва:
f(x1)<f(x2) – f(x)-монотонно-возрастающая на мн-ве Е
f(x1)≤f(x2) – f(x)-неубывающая на мн-ве Е
f(x1)>f(x2) – f(x)-монотонно-убывающая на мн-ве Е
f(x1)≥f(x2) – f(x)-невозрастающая на мн-ве Е
Опред.3: ф-я y=f(x) назыв. ограниченной на мн-ве Е, если мн-во ее значений (Y) ограниченно на мн-ве Е.
(ƎmϵR)(ƎMϵR)(
xϵE):m≤f(x)≤M,
в противном случае ф-я назыв. неограниченной.
Опред.4: число М назыв точной верхней гранью ф-и на мн-ве Е, если вып. след. усл-я:
(ƎMϵR)(
xϵE):f(x)≤M(
ε>0)(ƎxεϵE):f(xε)>M-ε
и обозначают M=supf(x), xϵЕ
Опред.5: число m назыв. точной нижней границей ф-и f(x) на мн-ве Е, если вып.след.усл-я:
(ƎmϵR)(
xϵE):f(x)≥m(
ε>0)(ƎxεϵE):f(xε)<m+ε
и обозначают m=inf(x), xϵE.
Ф-я
y=f(x)
назыв. периодической на мн-ве Е, если
(ƎT>0,
TϵR)
(
xϵE):f(x+T)=f(x),
где Т-период ф-и.
Если Т-период, то mT, m=±1. ±2, … - периоды f(x), за основной период ф-и принимают наименьшее положит. число.
y=sinX. ±2П,±4П, ±6П – периоды. Т=2П – основной период
________________________________________________________________________
5)Обратные функции, основные свойства функции.
Опред.: пусть на мн-ве Е задана ф-я y=f(x) и Y-ее мн-во значений. Если каждому эл-ту yϵY по закону g ставится в соответствие единственное число xϵE, то говорят, что на мн-ве Y задана обратная ф-я и обозначают x=g(y)=f-1(x). Ф-ю y=f(x) назыв. прямой ф-ей.
y=f(x), E – обл. опред., Y – мн-во знач.
x=g(y), Y – обл. опред., E – мн-во знач.
Понятие сложной функции.
Опред.:
пусть ф-я y=f(x)
определена при uϵD,
а ф-я u=φ(x)
определена на мн-ве Е(xϵE),
причем (
xϵE):
u=φ(x)ϵD.
Тогда говорят, что на мн-ве Е задана ф-я
y=(φ(x)),
которая назыв. сложной ф-ей или
суперпозицией ф-й, при этом обл. опред.
сложной ф-и будем назыв. мн-во значений
х, при которых определяется ф-и f
и ф и мн-во знач. Ф-й ф(х) явл. обл. опред.
ф-и f.
________________________________________________________________________
6)Определение числовой последовательности и ее предела.
Опред.1: Пусть EϵR – произвольное непустое мн-во. Отображение f мн-ва натер. чисел на мн-во Е назыв. числовой последовательностью и обозначается xn=f(n), т.е. числовая послед-ть – ф-я натурального элемента.
Для числовой последовательности важно, что это бесконечное мн-во, т.е. числ. послед-ть содержит бесконечное число эл-тов.
Числ. послед-ть – это упорядоченное мн-во, т.к. эл-ты данного мн-ва следуют в порядке возрастания n. При этом эл-нт xn стоит за xn-1 и перед xn+1.
Опред.2: Число aϵR назыв. пределом числ. послед-ти xn, если для каждого положительного числа ε, сколь бы мало оно не было, существует такой номер N(ε)ϵN, что все эл-ты послед-ти xn, номера которого n> N(ε) удовлетворяет неравенству |xn-a|<ε.
(
ε>0)(ƎN(ε)ϵN)
(
nϵN,
n>
N(ε)):|xn-a|<ε
И
тот факт, что a
явл. членом числ. послед-ти
n=а
или xn→a.
Числовая послед-ть в этом случае назыв.
сходящейся. Если указанный предел не
существует или равен ∞, то числ. послед-ть
назыв расходящейся.
Если ε уменьшается, то номер N(ε)-увеличивается. И в любой сколь угодно малой окр-ти лежит бесконечное число эл-тов.
Точка а – предельная точка(точка сгущения).
Если номер N(ε) – отриц., это означает, что все эл-ты послед-ти лежат в выбранной ε-окр-ти точки а.
________________________________________________________________________